七年級不等式理解難點——新定義“偏解方程(組)”

在2022版新課標第60頁，對于不等式與不等式組的課程內容安排如下：結合具體問題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質；能用不等式的基本性質對不等式進行變形；能解數字系數的一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集；會用數軸確定兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集；能根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式，解決簡單的實際問題。建立模型觀念。

第62頁：對于方程與不等式的教學，應當讓學生經歷對現實問題中量的分析，借助字母表達的未知數，建立兩個量之間關系的過程，知道方程或不等式是現實問題中含有未知數的等量關系或不等關系的數學表達；

在2025版新人教版教材140頁安排了解集中的整數解例題，如下圖：

學生在解不等式相關習題的時候，對于解集的理解深度決定了解題成功率，教材上對于解集的概念敘述比較簡單，在學習中學生需要明確這一章節的所有數學概念，都可以從數和形兩方面理解，數軸即最稱手的工具.

題目

解析：

01

(1)解出方程，x=-2；

再分別解下列三個不等式，結果為①x<-2；②x≤1；③-3≤x<1

根據“偏解方程”定義，判斷3c+2=-4是②和③的“偏解方程”；

02

(2)解這個方程組，用含a的代數式表示x和y，得x=a-1，y=2a+2；

代入到不等式y-1/2x>7中，解出a>3；

03

(3)首先解這個含參不等式組，得b-10≤x<2b-9，關于x的方程x+b=0的解是x=-b，它應該在前面求得的解集中，得b-10≤-b<2b-9，解得3

接下來兩種思路：

第一各從數形結合角度來理解“恰有5個整數解”，借助數軸，我們先表示出解集b-10≤x<2b-9，如下圖：

對于這個解集的左端點b-10，由于b的取值范圍被限定在3

通過這兩幅圖對比，我們可以想像這個解集的左端點從-7移動到了-5，同時右端點從-3移動到了1，且兩個端點移動速度并不一致，對于最終狀態下的解集，可發現有6個整數解，不符合題意，我們需要的解集應該位于初始狀態和最終狀態之間，不妨從最初開始，將左端點畫在b=3.1的位置，即b-10=-6.9，看大概能框住幾個整數，調整如下圖：

由草圖可知，解集中包含4個整數解，于是我們繼續增大b的值，看能否框住更多整數解，基于這個思路，我們需要觀察解集的兩個端點b-10和2b-9，發現當b=3.5時，右端點恰好在-2處，如下圖：

請注意右端點是空心點，此時解集中仍然只有4個整數解，但從此之后，左端點抵達-6前，右端點抵達-1前，解集中將會出現5個整數解，分別是-6，-5，-4，-3，-2，由此可知b的取值范圍下限，b>3.5；

繼續增大b的值，至b=4時，仍然有5個整數解，如下圖：

繼續增大b的值，至b=4.5時，仍然有5個整數解，但不是前面那5個，新的整數解為-5，-4，-3，-2，-1，如下圖：

此時再增大b的值，右端點就會將0這個值納入范圍，這樣整數解就有6個了，不符合題意，因此我們可得到結果為3.5

第二種從代數推理角度，不妨設這5個整數解依次是k，k+1，k+2，k+3，k+4，而解集是b-10

分別解上述兩個不等式組，得k+9

當k=-6時，代入前面關于b的兩個解集，3

當k=-5時，代入前面關于b的兩個解集，4

最后這兩種情況都屬于“有5個整數解”，取并集，結果為3.5

解題思考

在學生講解這道題的時候，我們可借助幾何畫板、Geogebra等工具動態演示，然而學生在實際答題時，手頭沒有這等利器，所以盡可能還原學生真實答題環境，再來講這道題的思考過程.

利用數軸表示不等式的解集，是教學過程中學生容易做到的，但能表示只是理解的第一層含義，腦子里是否存在解集這個事物很關鍵，利用參數表示解集，屬于較高的要求，由參數本身的不確定性，解集也會動態變化，此時需要利用數軸工具，在紙上的數軸工具.課堂上的畫解集，不能僅僅停留在區分“向左”、“向右”、“空心點”、“實心點”等這些基本元素上，當參數引入之后，端點可能在哪？解集中可能包含哪些數？更進一步考驗了學生對解集概念的理解.

本題也可以引入函數觀念，但這顯然超出了七年級學生的認知范疇，經過適當改編，它可以出現在八年級學生的練習中.