三道微積分之微分方程計算舉例

主要內容：

1.不定積分∫(x+3)dx/[(x-1)(x^2+x+2)]的求法

2.二階常微分方程130y''-277y'=0的通解

3.4y^(4)+16y^(3)+11y''+16y'+7y=5sin3x的通解

1.不定積分∫(x+3)dx/[(x-1)(x^2+x+2)]的求法

主要內容：通過待定系數法，對數、反正切函數不定積分公式，綜合計算不定積分∫(x+3)dx/[(x-1)(x^2+x+2)]。

解題步驟：

設：(x+3)/[(x-1)(x^2+x+2)]=(mx+n)/(x^2+x+2)-m/(x-1)

則：(-1-1)m+n=1,

-2m-1n=3。

解得：m=-1，n=-1。

此時不定積分為：

∫(x+3)dx/[(x-1)(x^2+x+2)]

=∫1dx/(x-1)-∫(x+1)dx/(x^2+x+2)

=ln|x-1|-∫[1/2(2x+1)+1/2]dx/(x^2+x+2)

本步驟用到對數函數不定積分公式∫dx/x=ln|x|+C.

=ln|x-1|-1/2∫d(x^2+x+2)/(x^2+x+2)-1/2∫dx/(x^2+x+2)

=ln|x-1|-1/2ln(x^2+x+2)-1/2∫dx/[(x+1/2)^2+7/4]

=ln|x-1|-1/2ln(x^2+x+2)+[-1/√7]∫d(x/√7/2)/[(x+1/2)/√7/2]^2+1

=ln|x-1|-1/2ln(x^2+x+2)+[-1/√7]arctan[(x+1/2)/√7/2]+C.

本步驟用到反正切函數不定積分公式∫dx/(x^2+1)=arctanx+C.

2.二階常微分方程130y''-277y'=0的通解

主要內容：本文通過一階微分方程分離變量法、一階齊次微分方程和二階常系數微分方程通解計算，介紹二階常微分方程130y''-277y'=0通解的計算步驟。

主要步驟：

※.分離變量法

由130y''=277y'有：

130d(y')=277y'dx

130d(y')/y'=277dx,兩邊同時積分有：

130∫d(y')/y'=277∫dx，即：

130∫d(lny')= 277∫dx，

130lny'=277x+C00,對方程變形有：

dy/dx=e^(277x/130+C00/130)=C01e^(277x/130),

再次積分可有：

∫dy= C01∫e^(277x/130)dx，即：

y=C01*(130/(277)∫e^(277x/130)d(277x/130)

=C1e^(277x/130)+C2。

※.一階齊次微分方程求解

因為130 (y')'-277y'=0，即：

(y')'-(277/130)y'=0，按照一階齊次微分方程公式有：

y'=e^(277/130∫dx)*(∫0*e^(-∫(277dx/130)dx+C0)，

進一步化簡有：

y'=C0 e^(277x/130)，繼續對積分可有：

∫dy=∫C0 e^(277x/130)dx，即：

y=C0*130/277*∫C0e^(277x/130)d(277x/130)

=C1e^(277x/130)+C2。

※.二階常系數微分方程求解

該微分方程的特征方程為130r^2-277r=0，即：

r(130r-277)=0，所以r1=277/130，r2=0。

此時二階常系數微分方程的通解為：

y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)

=C1e^(277x/130)+C2。

3.4y^(4)+16y^(3)+11y''+16y'+7y=5sin3x的通解

主要內容：根據對應常系數四階齊次微分方程的特征方程，介紹計算微分方程4y^(4)+16y^(3)+11y''+16y'+7y=5sin3x的通解的主要步驟。

主要步驟：

解：先解特征方程，過程如下：

方程4y^(4)+16y^(3)+11y''+16y'+7y=5sin3x的特征方程為：

4r^4+16r^3+11r^2+16r+7=0,

4r^2(r^2+1)+16r(r^2+1)+7(r^2+1)=0,

(r^2+1)(4r^2+16r+7)=0,

(2r+1)(2r+7)(r^2+1)=0,則有：

r1=-1/2，r2=-7/2，r3=i，r4=-i。

此時特征方程通解為：

y0=c1e^r1x+c2e^r2x+c3sinx+c4cosx.

以下步驟為求特解，設特解y1=msin3x+ncos3x,則：

y'=3mcos3x-3nsin3x,

y''=-9msin3x-9ncos3x,

y^(3)=-27mcos3x+27nsin3x,

y^(4)=81msin3x+81ncos3x.

代入方程得：

(232m+384n)sin3x+(-384m+232n)cos3x=5sin3x,

則由對應項系數相等得：

232m+384n=5，

-384m+232n=0,

求出：m=29/2,n=-6/-629,即特解：

y1=(29/2)sin3x+(-6/-629)cos3x.

綜合得函數的通解為：

y=y0+y1

=c1e^(-x/2)+c2e^(-7x/2)+c3sinx+c4cosx+(29/2)sin3x+(6/629)cos3x.