一、題目

如圖，已知四邊形ABCD是邊長為8的正方形，點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，AE與BF相交于點(diǎn)G，連接DE，交BF于點(diǎn)H，則GH的長為________.

二、分析

本題是一份山西中考模擬題中的15題，比較簡單，有多種解法.求線段長最常用的兩種方法就是勾股和相似，在本題中兩種方法都可以用，相對來說，用相似會簡單些.

首先觀察是否含有所求線段GH的直角三角形或相似三角形.

△EGH就是直角三角形，由對稱性可知EH=FH，BG、GE都可以求出來，在RT△EGH中已知一邊長和另外兩邊的關(guān)系，必然可求得GH.

含有GH的相似三角形并沒有，需要構(gòu)造，構(gòu)造相似三角形時(shí)可以構(gòu)造含GH的相似三角形，也可以構(gòu)造含BH的相似三角形，因?yàn)锽G可以求出來.

三、解答

1、用勾股定理求解

RT△ABE是1-2-√5型△，AE=√5BE=4√5.

由等面積法，可得BG=AB·BE/AE=8√5/5

由射影定理，可得GE=BE^2/AE=4√5/5（也可用勾股或相似求得）

易知BF=AE=4√5，EH=FH，GF=BF-BG=12√5/5

設(shè)GH=x，則EH=FH=12√5/5-x

在RT△EGH中，由勾股定理，可得

(4√5/5)^2+x^2=(12√5/5-x)^2

解得x=16√5/15.

2、構(gòu)造含GH的相似三角形

如圖，過點(diǎn)D作DJ//GH，交AE于點(diǎn)J.

則△EGH∽△EJD

∴GH/JD=EG/EJ

EG=4√5/5，AJ=BG=8√5/5，

EJ=AE-AJ=12√5/5

DJ=AG=AE-EG=16√5/5

∴GH:16√5/5=4√5/5:12√5/5=1:3

∴GH=16√5/15

3、構(gòu)造含BH的相似三角形

如圖，取DE中點(diǎn)I，連接IF

則△HIF∽△HEB

FH/BH=IF/BE=IF/CE=1:2

∴BH=2/3BF=8√5/3

∴GH=BH-BG=8√5/3-8√5/5=16√5/15

四、小結(jié)與反思

1、從上面的解題過程不難看出，第三種方法最簡單，因?yàn)槔弥形痪€一石二鳥，既構(gòu)造了8字相似，又得到了相似比，充分利用了中點(diǎn).遇到中點(diǎn)，我們首先就要想到中位線、直角三角形斜邊上的中線以及倍長中線.

2、構(gòu)造相似的方法很多，但最常用的輔助線還是作平行線.

3、做輔助線前，應(yīng)首先觀察是否存在含有所求線段的直角三角形或相似三角形，是否能直接利用勾股或相似求解.輔助線一般用于無法求解或求解困難或嘗試一題多解時(shí)使用.

4、求線段長通常用勾股或相似.