一、題目

如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，以BC為斜邊在BC右側(cè)作RT△BCD，∠BDC=90°，連接AD.若AB=5√2，CD=8，則AD=________.

二、分析

易求得AC=5√2，BC=10，BD=6，即四邊形的四條邊和一條對角線都已知，求另一條對角線的長.

如果你聽說過“托勒密定理”，這道題可以秒解；如果你只知道四點共圓，這道題就稍微復雜些；如果你兩個都不知道，那就比較麻煩了，但同樣可解。下面就分別用這三種方法來解這道題。

三、解答

托勒密定理和四點共圓都是課外知識，很多同學并不知道，所以咱們先從最普遍的方法，用課本上的知識來求解。

1、課本方法：求線段長，勾股或相似

如圖，過點A作AE⊥BC于點E，過點D作DF⊥BC于點F.

CD=10，CE=BE=AE=5

在RT△BCD中，由等面積法可得 DF=24/5

在RT△BDF中，由勾股定理可得BF=18/5

∴EF=BE-BF=7/5

設(shè)AB、CD相交于點O

由兩角相等易證△AOE∽△DOF

OE/OF=AE/DF=25/24

∴OE=25/49EF=5/7，OF=24/49EF=24/35

在RT△AOE中，由勾股定理可得 OA=25√2/7

同理可得 OD=24√2/7

∴AD=OA+OD=7√2

2、利用四點共圓

∵∠BAC+∠BDC=180°

∴A、B、C、D四點共圓（對角互補，四點共圓）

∴∠ADC=∠ABC=45°

遇45°，構(gòu)造等腰直角三角形.

過點C作CM⊥AD于點M.

在RT△CDM中，∠CDM=45°

CM=DM=8/√2=4√2

在RT△ACM中，由勾股定理可得

AM=3√2（利用勾股數(shù)）

∴AD=AM+DM=7√2

3、利用托勒密定理

先簡要敘述下托勒密定理

托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形對角線的乘積等于兩組對邊的乘積之和

對于本題，則有AD·BC=AB·CD+AC·BD

即10AD=6×5√2+8×5√2=70√2

∴AD=7√2

四、小結(jié)

1、求線段長，勾股或相似；

2、對角互補，四點共圓；

3、遇45°，構(gòu)造等腰直角三角形；

4、托勒密定理

另外，由方法二還可以得到一個結(jié)論：已知兩邊和一角，則任意三角形都可解.

（邊邊角圖形未確定時要分兩種情況）