一、題目

前段時間有粉絲問了一道題，題目如下：

如圖，已知在正方形ABCD中，有一點O，AO=7，CO=9，BO=4，求正方形ABCD的面積。

初中數學：已知正方形中三條線段長，求正方形面積

二、分析

要求正方形的面積，只要求出正方形邊長，題目中已知條件，除了明確給出的3條線段長外，△AOB和△BOC還存在邊相等、角互余的隱含條件，據此，容易想到把其中一個三角形旋轉90°，使倆等邊重合，進而構造出一個含直角且四邊都已知的四邊形，求它的對角線長。

三、解答

初中數學：已知正方形中三條線段長，求正方形面積

如圖，把△BOC繞點B逆時針旋轉90°至△BO'A，則O'B=OB=4，O'A=OC=9，∠O'BO=∠ABC=90°.

條件不足，繼續拓展已知條件，旋轉出等腰，旋轉90°出等腰直角三角形

連接OO'，由勾股定理可得 OO'=4√2

初中數學：已知正方形中三條線段長，求正方形面積

O'A=9，OA=7，OO'=4√2

由勾股定理逆定理可判斷 △AOO'為直角三角形，∠AOO'=90°

∴∠AOB=135°

現在又得到了一個特殊角，構造特殊三角形，利用勾股定理即可求得AB

過點B作BE⊥AO，交AO延長線于點E

初中數學：已知正方形中三條線段長，求正方形面積

則△BOE為等腰直角三角形

BE=OE=OB/√2=2√2，AE=AO+OE=7+2√2

在RT△ABE中，由勾股定理可得

AB^2=65+28√2

∴四邊形ABCD的面積為65+28√2

另解

這道題也可以利用坐標法求解，列式非常簡單，但是計算量比較大，對計算能力要求比較高。

以點B為坐標原點，BC所在直線為x軸，AB所在直線為y軸建立平面直角坐標系

設A(0,a)，C(a,0)，O(x,y)

由兩點間距離公式可得3個二元二次方程

初中數學：已知正方形中三條線段長，求正方形面積

也可解得a^2=65+28√2

四、小結

1、本題的特殊性在于，旋轉后構成的四邊形恰好可分為兩個直角三角形，進而得到∠AOB=135°這個特殊角，進而構造特殊直角三角形由勾股定理求得線段長。

2、由方法二可知，即使△AOO'不是直角三角形，同樣可解。

3、對比兩種方法，方法一充分利用了圖形的性質來解題，計算很簡單，但必須步步為營；方法二列式很簡單，無需考慮圖形的具體性質，但是計算量很大。平時解題時，一般先從圖形特點出發，利用圖形性質來解題，當題目較復雜，不知該如何下手時，可嘗試坐標法。