真假學霸一題現——解題中的數學素養

一直以來，數學核心素養成為了熱門名詞，動不動就是培養了學生的核心素養，然而實質上依舊是刷題押題那一套，在命題改革之前，或許還會有市場，然而隨著數學命題的進一步深化改革，在命題層面注重考察學生的核心素養，最大程度避免了試題命制套路化、模式化，這令許多以舊有教學模式為主的班級，學生出現明顯的不適應。并不是說數學命題越來越難，事實上，細看每一道試題，都有章可循，不至于令人摸不著頭腦，真正做到了“難亦有道”。

本題取材于人教版數學八年級下冊第64頁數學活動，如下圖：

這節活動課怎么上，直接決定了學生能否通過該活動達成核心素養培養的階段性任務，如果簡單把它變成習題課，弄一堆折疊問題的試題給學生完成，個人認為并不算達到教學目標。而按刷題模式學習出來的所謂學霸，也終將落出馬腳。

題目

實踐操作：

第一步：如圖(1)，將矩形紙片ABCD對折，折痕為EF，使邊AD與BC重合.

第二步：如圖(2)，將紙片EBCF對折，折痕為GH，使邊EF與邊BC重合，將紙片EBCF展平.

第三步：如圖(3)，將紙片EBCF沿過點B的直線再次折疊，折痕為BM，使點E落在GH上的點N處，將紙片ABCD展平.

問題解決：

(1)在圖(3)中，求證：∠MBN=30°；

(2)如圖(4)，若AB=4√3，延長BM交AD于點P，將紙片ABCD沿過點P的直線再次折疊，折痕為PQ，發現點F恰好也落在GH上的點N處.

①求PN的長；

②猜想∠FPQ的大小，并證明你的結論.

解析：

01

(1)我們依據八年級軸對稱知識，可輕松完成，如下圖：

連接EN，由折疊可知EN，BN關于GH軸對稱，于是EN=BN，又BE，BN關于BM軸對稱，于是BE=BN，所以我們得到了等邊△BEN，∠EBN=60°，而它的一半∠MBN=30°；

當我們在九年級學習了三角函數之后，它又有新的解法，在Rt△GBN中，可證明斜邊BN=2BG，于是cos∠GBN=1/2，同樣可得到∠GBN=60°，于是∠MBN=30°；

02

(2)①我們在前一個圖形中容易得到∠ABM=30°，延長BM之后，Rt△ABP是含30°角的直角三角形，同樣容易得到BP=8，記EN與BM交點為K，如下圖：

對于等邊△EBN，BK是它的高，于是可求出EK=√3，BK=3，所以PK=BP-BK=5，在Rt△PKN中，KN=EK=√3，由勾股定理求出PN=2√7；

②由PN，PF關于PQ軸對稱，可知PF=2√7，于是在Rt△PDF中，DF=2√3，由勾股定理求出PD=4，所以AD=8；

連接NF，如下圖：

我們首先證明∠NEF=∠NBP=30°，又有BN=EN，再加上EF=AD=8=BP，可得到△BNP≌△ENF，于是PN=FN，現在又得到一個等邊△PNF，因此∠FPQ=30°.

教學思考

本題是八年級數學試題，因此不建議用超過課標的內容去教學生解題。

我們在八年級數學下學期的學習中，第18章平行四邊形占據了相當的篇幅，許多中考幾何壓軸題均以四邊形作為背景設計命題，因此在這章結束時安排的數學活動意義非凡，在教參上注明了“這個活動既有動手操作，又有一定趣味性，還可以復習矩形的性質、三角形全等以及直角三角形等知識。”在這段描述中，把動手操作放在前列，意味著數學活動中，學生動手操作是必不可少的環節，因此回憶我們自已的數學課堂，在這一章結束時，有沒有安排學生完成這一數學活動，還是以做題目代替操作？

數學動手操作的意義又在哪里？有幸于2023年8月杭州學習時，聆聽了專家趙維坤老師的數學實驗講座，在各種極富想像力的教具背后，其重要的思想就是通過操作，進一步理解數學概念及相關性質，由此可見，數學活動中的操作無可替代。

回到這節數學活動課中，活動一正是本題第1問，紙片對折即軸對稱變換，事實上我們可以得到△BEN的兩條對稱軸GN和BM，由軸對稱的性質，對稱點的連線被對稱軸垂直平分，可以輕松得到第2問中的Rt△PKN，問過許多未解出來的學生，這一處均未想到。

因此在這節課中，究竟是什么原因導致對這條性質的認知不足？個人認為，學生的一句話或許能解釋一二，“平時沒用過”，可是當我翻開教材，僅第18章后的復習題18中，就有不少需要學生操作的習題，第3題、第9題、第10題、第15題需要作圖，第4題需要用繩子檢查，第11題需要用紙板操作，這個比例相當高了，那種題目直接給出圖形并用數學語言描述條件的，約一半多，說明整個章節復習題，接近一半要求學生動手操作，要么作圖，要么用教具。所以，到底是學生自已“平時沒用過”，還是老師要求“平時沒用過”？

也許教輔“平時沒用過”才是真相吧！

當我們完成解題之后，再回過來看圖形，其實點P是AD中點，并且整個矩形紙片展平后，依然沿BP對折，點A也落在EF上，同時延長PA'之后，它一定經過點C，從而構成一個更大的等邊△BPC，原來這個矩形經過了精心設計，它的兩邊分別是4√3和8，之所以進行上述研究，是因為在教師研題過程中，我們需要精確作圖，使用幾何畫板作圖，必須對圖形有更深入全面的了解，否則作圖步驟“沿PQ折疊，使點F恰好落在N處”不容易實現。

通過不同的操作體驗，讓學生從不同角度、不同層面去理解數學，才有更接近本質，從而培養核心素養。這句話不僅僅是說說，更需要落實到每一節數學課，以最有利于學生成長的方式呈現出來，這背后需要大量精心的教學設計、作業設計，這就是目前我們每一位數學教師面臨的挑戰。

在編寫《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》一書中，有大量來自一線教師對全國各地中考壓軸題的研究，其中不少教學思考都提到了數學操作對于提升學生素養的作用，非常深刻，值得進一步學習研究。例如針對無圖壓軸題或需要作用探究的壓軸題，學生作圖能力如何培養等，這和本題的教學思考基本一致。

教研參考書籍推薦

《從優秀試題研究中領悟初中數學教學》（張欽著）