大數法則與小數定律[1] 01 什么是大數法則

在數學與統計學中，大數定律（英語：Law of large numbers）又稱大數法則、大數律，是描述相當多次數重復實驗的結果的定律。根據這個定律知道，樣本數量越多，則其算術平均值就有越高的概率接近期望[2]。

大樣本、大容量里延伸出來的規律和經驗，才是有參考意義和預測價值的。

02 什么是小數定律

小數定律認為人類行為本身并不總是理性的，在不確定性情況下，人的思維過程會系統性地偏離理性法則而走捷徑，人的思維定勢、表象思維、外界環境等因素，會使人出現系統性偏見，采取并不理性的行為。大多數人在判斷不確定事件發生的概率時，往往會違背概率理論中的大數定律，而不由自主地使用“小數定律”，即濫用“典型事件”，忘記“基本概率”[3]。

小樣本、小容量、不具備普遍性的研究中得出的結論和經驗往往更容易極端、不正確。

03 隨機事件的不可解釋性

統計學中有幾個比較常見、但容易被人的直覺遺忘的概念——「隨機事件」就是其中之一！

「隨機事件」：是在隨機試驗中，可能出現也可能不出現，而在大量重復試驗中具有某種規律性的事件叫做隨機事件。

拿扔硬幣舉例：在這個隨機試驗中，正面可能出現、可能不出現，概率為 50%，但在次數足夠多的嘗試過后，我們可以統計、線型擬合出——大樣本容量下、足夠多的次數下，正反面出現的概率各為50%。

隨機事件有一個先天特點……嗯…——它是隨機的，哈哈哈，不說廢話——隨機事件因為它的結果出現是隨機的，因此是不可預測的；或者說對于他的預測是沒有實際意義的，因為若干結果是等概率出現的。

隨機事件因之于它的隨機、它的不可預測常常被我們下意識的遺忘——所以我們總是在預測時受前面結果的影響、在統計時主動的位置找尋貌似合理的解釋。

比如猜硬幣的正反面：如果一個人連著出現了三次正面，那么很多人下一次的猜測總會有自己的理由。

? 理由 1 ：前面三次都是正面，那么這次也大概率是正面，我就猜正面。 理由 2 ：前面都出現三次正面了，這次不太可能是正面，我還猜反面。 理由 3 ：前面出現的任何情況都與后面的預測結果無關，隨筆猜正面。 ?

顯然，三個解釋看似都具有一定的合理性和邏輯性，也是可以說服一些人的（起碼可以說服當時的自己）。但真正正確的，其實只有理由 3 ，因為隨機事件本就不可預測、前后互不相干。

也給我們一個啟發：「不是所有看似合理的、有邏輯的解釋，都是正確的。不要為一些已然發生的事情尋找理由和借口，因為你總能找到，且總能說服一心尋找借口的你自己」。

04 生活事例 001 籃球比賽

在籃球比賽里，哪怕有球員手感爆棚 or 手感冰涼，他投下一個球的進球概率永遠是 50%，這是一定一定不會變的！

至于球員因為狀態的好壞，而使得我們以為他今天投籃進球概率的改變（可能高于 50% or 低于 50%），其實是一種錯覺——一直都是 50%，高于或者低于，都是巧合！

002 文字排列

長度為 6 個字，在“可”“愛”兩個字里尋機挑選其中一個，進行排列。

? 可愛可愛可愛 可可可愛愛愛 愛可可愛可愛 愛愛愛愛愛愛 可可可可可可 …… ?

你覺得哪個出現的概率更大一些？我想很多人會選 1、2、3，因為里面兩個字都出現了相同次數。

但其實，每一種排列組合出現的概率都是一樣的 50%，沒有哪個是更有可能、更大概率出現的！

因為他們前一個字的出現，并不會對后一個字產生影響，因為這是個隨機事件。

003 比大小游戲（綜合運用）

兩個人比大小的游戲，擁有以下哪個條件的一方可以先勝出[4]。

? A：有錢、資本多 B：手熱、運氣好 C：聰明、會計算 D：沒有獲勝方 ?

正確答案應該是哪個呢？不要直接看，好好運用上面的原理，思考片刻！真的會很有意思。

正確答案是：A

兩個人玩極其簡單的比大小游戲，除去沒有意義的平局，那么只有兩個結果——大 or ??！并且這兩個結果出現的概率是相等的，同為 50%！

但我們一定一定要注意一點：隨機事件的預測概率、實際概率、統計概率是有區別的（我自己取的幾個名詞，目的是方便陳述、方便理解）。

? 預測概率：只和結果的總個數和占比有關，并且前后沒有相關性、互不影響。 「實際概率」：在小樣本、有限次數內的呈現效果，并不符合預測概率和統計概率。扔硬幣3次，可以是1正2反；可以是1反2正；更可以是3正；還可以是3反——每一種呈現結果，都不符合預測概率和統計概率中的 50%！ 統計概率：統計概率相當于是預測概率的科學、統計證實——足夠大樣本、大容量、多次數的重復下，統計概率的結果會與預測概率無限趨近、極限擬合。 ?

所以兩個人玩比大小游戲，當次數還不夠多時——比如前 3、7、10、11 次，可能會出現各種各樣的比賽結果，顯然，一方連著?。ㄝ敚?1次的情況也是可能存在的。如果你的資本有限，就很難對沖掉出現連輸 11 次的狀況，然后雙手插兜、兩手空空，就直接遺憾出局了。而資本足夠大的那一方，他可以對沖幾乎所有的不利狀況，哪怕他連輸 11 次、連輸 20 次，甚至更多，因為它有著足夠的資本，所以他永遠可以扛住。

你們明白為什么賭桌上，莊家常常是贏錢的那個嗎??？就是因為專家有足夠的資本，理論上來說可以進行足夠多次數的博弈——直至出現統計概率 50%、在賭注不變的情況下，雙方不輸不贏。但很少有下注的人有莊家那樣雄厚的資本——維持到兩人可以持續足夠多的局數，在某一局，就倒下了。

05 有什么作用

了解這兩個統計學規律后，我們可以給生活帶來一些改變：

? 001、未來的研究生、科研人員們，做實驗前，一定要嚴謹對待樣本容量的選取，用更科學的方法去計算和模擬，選擇一個有可信度的大樣本容量——讓自己的結果更加的有意義。 002、我們去瀏覽文獻和一些相關的說明時，一定要對它選取的范圍和對象的廣泛性保持“高敏感性”，一旦察覺到它的調查范圍不合理、有特殊性，那么可以懷疑它的權威性。 003、不要嘗試著忽視和否定已經存在很久的、很權威的、基于大數法則所發布的科學事實——它們可能太過平常、普通，導致我們毫不重視。 004、也不要嘗試著計較和專注那些很新穎的、吸人眼球的、基于小數定律所發布的猜想和假說——它們或許讓人眼前一亮、印象深刻，但猜想和假說終歸不是金科玉律和真相——所以不值得過分關注。 ?

我努力調用生活中聽聞、經歷過的事例，雕琢陳述的語言，希望我講述的“大數法則”和“小數定律”，你們有所收獲。

「References」：

[1]：概念引用自《思考 · 快與慢》

[2]：大數法則的解釋，引用自”維基百科“

[3]：小數定律的解釋，引用自“百度百科”

[4]：比大小事例改編自李笑來所著《財富自由之路》