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數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾、作家豪爾赫·路易斯·博爾赫斯以及博爾赫斯短篇小說(shuō)《阿萊夫》的主人公卡洛斯·阿根蒂諾·達(dá)內(nèi)里在這里被視為一個(gè)謎題的三塊拼圖。我們將這三塊拼圖拼在一起，就會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)驚人的數(shù)字。

1. 格奧爾格·康托爾

格奧爾格·費(fèi)迪南德·路德維希·菲利普·康托爾（1845-1918年）出生于俄羅斯圣彼得堡，但他一生的大部分時(shí)間是在德國(guó)度過(guò)的，11歲時(shí)隨家人遷居德國(guó)。他被認(rèn)為是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他看待數(shù)學(xué)的方式令人驚嘆。他認(rèn)為數(shù)學(xué)的本質(zhì)是自由，并建議將純數(shù)學(xué)稱為自由數(shù)學(xué)[13]。他催生了集合論，大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）將集合論描述為：

康托爾為我們創(chuàng)造的天堂，沒(méi)有人能把我們驅(qū)逐出去。[16]

康托爾認(rèn)為，不可能只有一個(gè)無(wú)窮大，但一定有比其他無(wú)窮大更大的無(wú)窮大。在集合論中，數(shù)被視為集合，為了區(qū)分它們，他定義了無(wú)窮數(shù)。他還談到了絕對(duì)無(wú)窮（用Ω表示），他將其與上帝相提并論，并認(rèn)為絕對(duì)無(wú)窮無(wú)法用數(shù)學(xué)形式化。康托爾將“小的”無(wú)限數(shù)（相對(duì)于上帝而言是小的）命名為阿萊夫0、阿萊夫1、阿萊夫2（表示為?0、?1、?2）等。此外，他還定義了它們之間的運(yùn)算。

盡管康托爾塑造了一個(gè)天堂，但他的身心卻生活在地獄中，因?yàn)樗c精神疾病作斗爭(zhēng)，他在哈勒的一家精神病院度過(guò)了最后的歲月。此外，在1901年，他的天堂似乎坍塌了，因?yàn)椴靥m·羅素（Bertrand Russell）指出，他的集合論本身就包含一個(gè)悖論。事實(shí)上，康托爾的理論并不排除存在一個(gè)包含所有不屬于自己的集合的集合：

R = {S ：S是集合，且S不是S的元素}。

這個(gè)集合屬于它自己?jiǎn)幔咳魏未鸢付紩?huì)導(dǎo)致矛盾，這一悖論的發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)界對(duì)康托爾理論的穩(wěn)健性產(chǎn)生了懷疑。后來(lái)，數(shù)學(xué)家恩斯特·澤梅洛（Ernst Zermelo）、阿道夫·亞伯拉罕·哈列維·弗蘭克爾（Adolf Abraham Halevi Fraenkel）和阿爾伯特·索拉爾夫·斯科萊姆（Albert Thoralf Skolem）對(duì)集合論進(jìn)行了新的公理化，成功地將康托爾的天堂從悖論中解脫出來(lái)。然而，康托爾的生命卻沒(méi)有得到挽救，今天，月球黑暗面上的一個(gè)隕石坑就是以格奧爾格·康托爾的名字命名的，以紀(jì)念他的黑暗命運(yùn)。

2. 博爾赫斯的數(shù)學(xué)

豪爾赫·弗朗西斯科·伊西多羅·路易斯·博爾赫斯·阿塞韋多（1899-1986 年）出生于阿根廷布宜諾斯艾利斯，卒于日內(nèi)瓦，一生留下了不朽的文學(xué)遺產(chǎn)，其中包括充滿創(chuàng)造力、想象力、夢(mèng)想和數(shù)學(xué)的奇妙作品。1971年，當(dāng)諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)和圖靈獎(jiǎng)獲得者赫伯特·西蒙采訪他時(shí)，博爾赫斯說(shuō)：

“我的許多想法都是對(duì)的：的確，我的許多想法都來(lái)自于對(duì)邏輯和數(shù)學(xué)書籍的閱讀。但話雖如此，每當(dāng)我開(kāi)始閱讀這些書籍時(shí)，我都會(huì)覺(jué)得它們打敗了我，我還沒(méi)能完全理解它們。[24]”

我讀過(guò)博爾赫斯的許多作品，我相信他實(shí)際上能夠充分理解許多令他著迷的數(shù)學(xué)概念。他利用這種能力創(chuàng)造了奇跡。博爾赫斯的做法與《愛(ài)麗絲漫游奇境記》[11] 的作者、數(shù)學(xué)家劉易斯·卡羅爾的做法相似。也就是說(shuō)，他推倒了人類筑起的一堵將數(shù)學(xué)與文學(xué)隔開(kāi)的墻。

關(guān)于博爾赫斯在寫作中運(yùn)用數(shù)學(xué)的文獻(xiàn)浩如煙海（參見(jiàn)[1, 2, 10, 12, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 25]）。他的作品中經(jīng)常出現(xiàn)的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念是悖論和無(wú)限。關(guān)于時(shí)間的無(wú)限性，他說(shuō)：

永恒是一種絢麗的藝術(shù)，它把我們從時(shí)間流逝的難以忍受的壓迫中解放出來(lái)，哪怕只是片刻。[4]

他在《卡夫卡和他的先驅(qū)們》[9]、《阿喀琉斯和烏龜?shù)挠篮愀?jìng)賽》[3]和《烏龜?shù)幕怼穂5]中，從哲學(xué)和數(shù)學(xué)的角度討論了阿喀琉斯和烏龜?shù)你Ｕ摗Ｔ凇端劳雠c指南針》[7]中，他利用了這一悖論，但并未明確提及：

沙爾拉赫，當(dāng)你以其他化身追捕我時(shí)，在 A 處假裝犯罪（或確實(shí)犯罪），然后在距離 A 處8公里的 B 處第二次犯罪，然后在距離 A 和 B 處4公里的 C 處第三次犯罪，在這兩個(gè)地方的中途。稍后在 D 處等我，D 處距離 A 和 C 兩公里，再次位于兩者的中途。

博爾赫斯在接受赫伯特·西蒙（Herbert Simon）[24] 的采訪時(shí)也說(shuō)過(guò)，他從羅素的數(shù)學(xué)著作中獲得了靈感。因此，羅素悖論經(jīng)常以各種形式出現(xiàn)在博爾赫斯的作品中也就不足為奇了。例如，博爾赫斯多次提到[22]一幅地圖，約西亞·羅伊斯在其著作《世界與個(gè)人》[23]中將其描述為一幅在英格蘭的一部分土地上完美描繪的英格蘭地圖。這幅地圖如此精確，以至于它包含了一幅地圖的地圖，而這幅地圖又包含了一幅地圖的地圖，如此等等。這種自指地圖讓人聯(lián)想到羅素悖論；我們?cè)诓柡账沟摹栋蛣e圖書館》[6] 中也能找到類似的想法：

像所有圖書館的人一樣，我年輕時(shí)也曾旅行；我曾漫步尋找一本書，也許是目錄中的目錄；

以及《阿萊夫》[8]。這就是我們現(xiàn)在要進(jìn)一步分析的故事1。

3. 卡洛斯·阿根蒂諾·達(dá)內(nèi)里

博爾赫斯的短篇小說(shuō)《阿萊夫》[8]中只有兩個(gè)活躍的人物：一個(gè)是博爾赫斯本人，另一個(gè)是被博爾赫斯描述為狂妄自大的詩(shī)人卡洛斯·阿根蒂諾·達(dá)內(nèi)里。卡洛斯小時(shí)候在地窖里發(fā)現(xiàn)了一個(gè)“阿萊夫”：

空間中包含所有其它點(diǎn)的點(diǎn)之一。……世界上唯一一個(gè)所有地方都在的地方……從每個(gè)角度看，每個(gè)地方都清晰可見(jiàn)，沒(méi)有任何混淆或融合。

自從發(fā)現(xiàn)了它，卡洛斯就對(duì)它著了迷。因?yàn)樗軓陌⑷R夫看到宇宙的每個(gè)角度，所以他想寫關(guān)于世界每個(gè)角度的詩(shī)句。但博爾赫斯并不欣賞卡洛斯的詩(shī)歌和個(gè)性。他甚至無(wú)法完全理解他們，直到有一天，他在卡洛斯的地窖里親眼看到了阿萊夫：

我從每一個(gè)點(diǎn)和角度看到了阿萊夫，在阿萊夫中我看到了世界，在世界中看到了阿萊夫，在阿萊夫中看到了世界；我看到了自己的臉和自己的腸子；我看到了你的臉；我感到頭暈?zāi)垦＃飨铝搜蹨I，因?yàn)槲业难劬吹搅四莻€(gè)秘密的、猜想中的物體，它的名字是所有人都知道的，但卻沒(méi)有人看過(guò)--無(wú)法想象的宇宙。我感到無(wú)限驚奇，無(wú)限憐憫。

4. 博爾赫斯的阿萊夫和康托爾的天堂

盡管博爾赫斯的“阿萊夫”在概念上與康托爾的“阿萊夫數(shù)”大相徑庭，但博爾赫斯顯然想向康托爾的集合論致敬。這不僅體現(xiàn)在名稱的選擇上，也體現(xiàn)在對(duì)羅素悖論的引用上（在阿萊夫數(shù)中我看到了世界，在世界中看到了阿萊夫數(shù)，在阿萊夫數(shù)中看到了世界），還體現(xiàn)在博爾赫斯對(duì)這一主題的了解上。在短篇小說(shuō)的結(jié)尾，博爾赫斯在談到包含所有其他點(diǎn)的那個(gè)點(diǎn)的名字時(shí)，也直接提到了康托爾的著作。他說(shuō)，他從卡洛斯那里聽(tīng)說(shuō)了“阿萊夫”這個(gè)名字，但他不知道卡洛斯是從哪里知道這個(gè)名字的。他說(shuō)，?是希伯來(lái)字母表的第一個(gè)字母，也是 Mengenlehre（德語(yǔ)，集合論）中用來(lái)表示無(wú)窮級(jí)數(shù)的字母。有趣的是，康托爾的名字并沒(méi)有出現(xiàn)在這篇短篇小說(shuō)的西班牙文原版中，但卻出現(xiàn)在由諾曼·托馬斯·迪·喬瓦尼與博爾赫斯合作翻譯的英文版中。

我也捫心自問(wèn)：如果博爾赫斯想讓卡洛斯·阿根蒂諾·達(dá)內(nèi)里以某種方式詮釋格奧爾格·康托爾，那會(huì)怎樣？卡洛斯是發(fā)現(xiàn)阿萊夫（他說(shuō)是我的阿萊夫）的人，他對(duì)阿萊夫如此著迷，以至于變成了一個(gè)瘋子。康托爾是“阿萊夫數(shù)之父”，他曾與精神健康問(wèn)題作斗爭(zhēng)。但是，康托爾的人生并沒(méi)有一個(gè)美好的結(jié)局，而卡洛斯在博爾赫斯的故事中確實(shí)從他的問(wèn)題中恢復(fù)過(guò)來(lái)了（我不會(huì)告訴你他是如何恢復(fù)過(guò)來(lái)的）。我認(rèn)為博爾赫斯也想給坎特的人生一個(gè)圓滿的結(jié)局。我想，在博爾赫斯的這些篇章的結(jié)尾，康托爾又找到了他作品中一貫的自由。

參考文獻(xiàn)

[1] William Goldbloom Bloch, The Unimaginable Mathematics of Borges’ Library of Babel, Oxford University Press, 2008.

[2] William Goldbloom Bloch, “Lost in a Good Book: Jorge Borges’ In escapable Labyrinth,” pages 155-165 in Imagine Math: Between Culture and Mathematics, edited by Michele Emmer (Springer Verlag Italia,2012).

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[4] Jorge Luis Borges, Historia de la eternidad, Viau y Zona, Buenos Aires, 1936.

[5] Jorge Luis Borges, Los avatares de la tortuga, Sur, 1939.

[6] Jorge Luis Borges, “La biblioteca de Babel,” in El Jardín de senderos que se bifurcan (Sur, 1941).

[7] Jorge Luis Borges, La muerte y la brújula, Sur, 1942.

[8] Jorge Luis Borges, “The Aleph,” translation by Norman Thomas Di Giovanni in collaboration with the author, 1945.

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[22] Piergiorgio Odifreddi, “Un matematico legge Borges,” Asia – Associazione Spazio Interiore Ambiente, 1997.

[23] Josiah Royce, The World and the Individual, Peter Smith Pub Inc, 1976.

[24] Herbert Simon, “Borges–Simon: detrás del laberinto,” Revista Primera Plana, 1971.

[25] Allen Thiher, Fiction Refracts Science: Modernist Writers From Proust To Borges, University of Missouri Press, Columbia, 2005.

[26] Raffaella Mulas, The Aleph of Borges and the Paradise of Cantor

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