新定義“等邊旋轉點”

逆向思維破局

一般而言，新定義題的解題關鍵是讀懂新定義，這和我們平時數學課堂上概念教學的學習方式是完全相同的，區別在于新定義試題要求在較短時間內完全理解數學概念并運用它解決數學問題。在教學中是否認真對待每一節數學概念課，學生是否真正學會了如何理解數學概念，通過這一類題型，可以較好地進行評價。

同時新定義壓軸題也是綜合題，多個數學元素結合起來，通過各種代數、幾何變換，成為新的合集，多數題目需要學生作圖，甚至作圖也不能完全描述圖形的動態，更需要想象，在數學中我們稱之為抽象，即用數學思維去思考。

下面以2025年1月北京海淀區九年級數學期末第28題為例：

題目

28.在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為2，對于點P，Q和⊙O的弦AB，給出如下定義：

若弦AB上存在點C，使得點P繞點C逆時針旋轉60°后與點Q重合，則稱點Q是點P關于弦AB的“等邊旋轉”.

(1)如圖，點P(-2,0)，直線x=1與⊙O交于點A，B.

①點B的坐標為_____________，點B__________(填“是”或“不是”)點P關于弦AB的“等邊旋轉點”；

②若點P關于弦AB的“等邊旋轉點”為點Q，則PQ的最小值為_____________，當PQ與⊙O相切時，點Q的坐標為_____________；

(2)已知點D(t,0)，E(-1,0)，若對于線段OE上的每一點M，都存在⊙O的長為2√3的弦GH，使得點M是點D關于弦GH的“等邊旋轉點”，直接寫出t的取值范圍.

解析：

01

(1)我們在草稿紙上按題目要求作圖，請注意“存在”一詞在數學中的含義，如下圖：

圖中的△CPQ是一個等邊三角形，這也是新定義中“等邊旋轉點”前兩個字的字面意思，其中頂點C在弦AB上，對于題目中“逆時針”的含義，有必要多解讀下，在一個等邊三角形中，以任意一個頂點為旋轉中心，另外兩個頂點都可以通過旋轉相互得到，那這里的逆時針顯然是規定了方向，因此我們可以說點P繞點C逆時針旋轉60°得到點Q，同樣也可以說點Q繞點P逆時針旋轉60°得到點C，這兩種旋轉變換是等價的，這也是為后面的逆向思維埋伏筆；

本小題中，給定了P點坐標和弦AB，如下圖：

①我們連接OA，OB，順便連接PA，PB，觀察△OBC，這是一個直角三角形，其中OC=1，OB=2，因此很容易求得BC=√3，所以點B坐標為(1,-√3)，在△OBC中，易知∠OBC=30°，∠BOC=60°，同理在△AOC中，∠AOC=60°，于是∠AOB=120°，它在圓中是圓心角，所以同弧所對的圓周角∠APB=60°，點A和點B本身關于x軸對稱，于是PA=PB，再加上∠APB=60°，所以△APB是等邊三角形，其中點P繞點A逆時針旋轉60°后與B重合，所以點B是點P關于弦AB的“等邊旋轉點”；

②接上圖，弦AB上也存在其余的點，以這些點為旋轉中心，找到點P關于弦AB的“等邊旋轉點”，不妨作其中一個，如下圖：

點C為弦AB上一點，點P繞點C逆時針旋轉60°后與點Q重合，這三個點又構成一個等邊△CPQ，其中邊長PC存在一個最小值，即當PC⊥AB時，CP最小值為3，此時PQ的最小值也是3；

當PQ與⊙O相切時，點P為切點，此時PQ作為切線，應該與經過切點的直徑垂直，即PQ⊥x軸，如下圖：

借助第①小題的圖，我們可求得∠OPB=30°，而△CPQ是等邊三角形，則∠CPQ=60°，再結合∠OPQ=90°，得∠OPC=30°，于是可判斷點C與點B重合；

我們前面已經求過BP=2√3，所以此時PQ=BP=2√3，得到點Q坐標為(-2,-2√3)；

02

(2)能確定的⊙O不變，點E位置已知，點D在x軸上，按照“等邊旋轉點”的定義，我們需要找到旋轉中心C，即某條弦GH上的一個點，對于這條弦GH，僅僅知道它的長度是2√3，是圓內的一條定弦，這樣的弦在圓內有無數條，它們有一個共同特征，就是圓心距是定值，不妨作出這樣的一條弦來觀察，如下圖：

仍然由第①小題的圖，可求得弦心距OC=1，于是所有這些長度為2√3的弦，在⊙O中可能的位置，便形成一個圓環，圖中綠色部分，內圓半徑為1，外圓半徑為2，我們需要的旋轉中心C，就存在于這個圓環內(包括邊界)；

我們需要將點D繞點C逆時針旋轉60°得到點M，這個點M是線段OE上任意一點，在旋轉中心位置未確定的情況下，旋轉變換屬于無根之水，因此我們需要將上面的描述稍稍調整一下：

我們知道點D、點C和點M是一定可以構成等邊三角形的，逆向思考：點M繞點D逆時針旋轉60°可得到點C，既然點M是線段OE上任意一點，那不妨將整個線段OE繞點D逆時針旋轉60°，得線段O'E'，則O'E'上的點，即可能存在的旋轉中心點C，如下圖：

結果前面對圓環的解讀，只要線段O'E'全部在圓環內即可滿足線段OE上任意一點M，都能以線段O'E'上某個點為旋轉中心，將點D逆時針旋轉60°后得到；

所以現在我們的問題轉換成，線段O'E'何時全部在圓環內？

顯然，隨著點D位置不同，線段O'E'位置也不同，如下圖：

形成動態圖象之后，我們即可尋找特殊位置，要滿足線段O'E'全部在圓環內，當點t增大時，點O'在外圓上時開始，到O'E'與內圓相切時結束，這段范圍內的O'E'，全部在圓環內；

先看第一個t值，如下圖：

很明顯，此時的t=-2；

再來看第二個t值，如下圖：

設線段O'E'與內圓相切于點N，在Rt△ODN中，ON=1，則可求得OD=2√3/3，于是此時t=-2√3/3，所以t的第一段范圍是-2≤t≤-2√3/3；

當點D來到x軸正半軸時，情況大體類似，如下圖：

我們來看第三個t值，如下圖：

很顯然，此時t=1；

現在看最后一個t值，如下圖：

我們過點E作EF⊥x軸，在Rt△DE'F中，DF=1/2(t+1)，于是表示出E'F=√3/2(t+1)，而F為DE中點，因此F(t/2-1/2,0)，得到點E'(t/2-1/2,-√3/2(t+1))，我們知道OE'=2，由兩點間距離公式列方程(t/2-1/2)2+[√3/2(t+1)]2=4，整理得t2+t-3=0，解得t=(-1+√13)/2，于是第二段t的范圍是1≤t≤(-1+√13)/2.

解題思考

本題的解題思路還可以繼續改進，當點D從左向右運動時，相應的線段O'E'自左上向右下運動，這個運動通道與圓環有重合部分，如下圖：

當線段O'E'在通道內運動時，上述四種狀態也可以很容易找到。

學生在解題過程中，對于“弦AB上存在點C”、“線段OE上的每一點M”理解感到困難，雖然在教學中我們解讀“存在”和“每一點”后，學生當時能明白，但若僅僅是聽明白，而不是想明白，這兩段話在未來依然可能是閱讀障礙，所以我們要課堂解題教學中，應該努力幫助學生理解題意，扶著走，最終是為了放手。

第2小題還有一種理解方式，就是仍然按正向思維，以可能存在的點C為旋轉中心，將點D繞點C逆時針旋轉60°，那所有可能的M點也將是個圓環，如下圖：

當圓環全部覆蓋線段OE時，即滿足題目條件，我們可以得到相同的結果。

無論是正向思維或是逆向思維，本題都可以突破，根據學生實情選擇合適的方法。