在ChatGPT、DeepSeek等發布以來，大語言模型（LLM）成為所有人追逐的方向。而其中處理音頻進行語音識別、音頻生成；處理圖像，理解紋理、邊緣等特征，都離不開一個重要的數學工具，就是“傅里葉變換”，甚至于沒有它，就沒有人工智能的應用。

不僅如果此傅里葉變換在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。比如圖像處理和量子力學。它用于發現DNA等大型生物分子的結構、壓縮數碼照片中的圖像數據、清理古老或損壞的錄音，以及分析地震。

來源 | 《改變世界的17個方程》

作者 | [英] 伊恩?斯圖爾特

譯者 | 勞佳

牛頓的《自然哲學的數學原理》為針對自然的數學研究打開了大門，但他的同胞們過分沉迷于誰先發明了微積分的爭議，而不是去做出進一步的發現。在英格蘭的精英們眼中，自己國家在世的最偉大的數學家遭受了這種可恥的指控，真是太讓人義憤填膺了（這很大程度上可能是因為聽了出于善意但愚蠢的朋友們的話）。

與此同時，歐洲大陸的同事們則將牛頓關于自然法則的觀點拓展到了物理學的大多數領域。在波動方程之后，很快就出現了非常相似的引力、靜電、彈性和熱流方程。許多方程都用發明者的名字命名：拉普拉斯方程、泊松方程。

關于熱的方程則沒有用人名命名，這個方程的名字缺乏想象力，還不完全準確——“熱方程”。它由約瑟夫·傅里葉（Joseph Fourier）提出，而他的思想引出一個新的數學領域，其影響遠遠超出了問題最初的來源。波動方程本來也可能引出這一思想，類似的方法在人們的數學意識中早有浮現，但歷史卻選擇了熱學。

這種新方法有一個前途光明的開端：1807年，傅里葉根據一個新的偏微分方程向法國科學院提交了一篇關于熱流的文章。雖然這所著名的機構拒絕發表文章，但它鼓勵傅里葉進一步研究他的思想并再試一次。

當時，科學院有一個年度研究獎項，頒發給他們認為足夠有趣的任何主題。他們選擇熱學作為1812年獎項的主題。傅里葉正式提交了他經過修訂和擴充的文章，并贏得了獎項。他的熱方程是這樣的：

這里的是一根金屬桿在時刻、位置處的溫度，其中桿無限細，是一個常數，指熱擴散率。所以它真的應該被稱為溫度方程。他還給出了一個更高維的版本：

對平面或空間中的任何指定區域都成立。

熱方程與波動方程驚人地相似，但有一處重要的區別。波動方程用的是對時間的二階導數，但到了熱方程里則變成了一階導數。這個區別可能看起來很小，但其物理意義是巨大的。

和會永遠振動的小提琴琴弦不同（根據波動方程，假設沒有摩擦或其他阻尼），熱量并不會無限期持續存在。相反，隨著時間的推移，熱量會耗散衰減，除非有熱源可以給它補充熱量。

因此，一個典型的問題可能是這樣的：加熱桿的一端以保持其溫度恒定，冷卻另一端并同樣保持恒定，求出桿達到穩定狀態后溫度如何分布。答案是以指數方式下降。

另一個典型的問題是，指定沿桿的初始溫度分布，然后問這個分布隨時間如何變化。也許開始時左半部分溫度高，右半部分溫度低。這個方程就會告訴我們高溫部分的熱量如何擴散到低溫的部分。

傅里葉的獲獎回憶錄中最有趣的部分并不是這個方程，而是他如何求解它。如果初始分布是一個三角函數，例如，則方程（對那些有處理此類問題的經驗的人來說）很容易求解，答案是 。這和波動方程的基模有些相似，但那個公式是。

琴弦的永恒振蕩對應的因子被指數代替，并且指數中的負號告訴我們，整體溫度分布沿著桿以相同的速率衰減。（這里的物理差異是波會保存能量，但熱流不會。）類似地，比如對于的初始分布，解是：同樣會消失，但速度快得多。式中的是，這是一般模式的一個例子，適用于或形式的初始分布。 要求解熱方程，只要乘上就行了。

接下來，故事大體上就和波動方程差不多了。熱方程是線性的，因此我們可以把解疊加起來。如果初始分布是

那么解就是

并且兩種模以不同的速率衰減。但像這樣的初始分布有點兒刻意。為了解決我在前面提到的問題，我們想要這樣一個初始分布：其中桿有一半是，另一半是。這樣的分布是不連續的，用工程術語來說叫作“方波”。但正弦和余弦曲線是連續的。因此，正弦和余弦曲線的任何疊加都不能代表方波。

當然，任何有限的疊加都不行。但是，如果我們允許無窮多項呢？那么我們可以嘗試將初始分布表示為一個無窮級數，形如

其中、 是合適的常數（因為，所以沒有）?，F在看來有可能得到方波了（見圖9.1）。實際上，大多數系數可以設為零。只有為奇數的需要保留，并且。

圖 9.1　如何利用正弦和余弦得到方波。左：正弦波分量。右：它們的和及方波。在這里，我們展示傅里葉級數的前幾項。更多的項可以更好地近似方波

傅里葉甚至給出了一般分布的系數和的積分通項公式：

在經歷了對三角函數進行冪級數展開的周折之后，他意識到還有簡單得多的方法可以推導出這些公式。如果你取兩個不同的三角函數，比如和，將它們相乘，并從到積分，就會得到零。哪怕它們看起來是和也是一樣。但如果兩個函數是相同的，比如都是，那積分就不是零——實際上是。

如果你設是三角級數的和，將所有數字乘以并積分，則所有項都會消失，除了對應于的那一項，即。這一項的積分結果是。那么除以之后就得出了項的傅里葉公式。所有其他系數也是如此。

雖然這個公式贏得了法國科學院的獎項，但傅里葉的回憶錄因不夠嚴謹而受到廣泛批評，科學院也拒絕發表。這件事極不尋常，令傅里葉非常憤慨，但科學院不為所動。傅里葉怒火中燒。物理的直覺告訴他自己是對的，如果你把他的級數代入這個等式，它顯然是一個解。它成立了。真正的問題是，他不知不覺間揭開了一個舊傷疤。

歐拉和伯努利多年來一直就波動方程爭論類似問題，只不過方程里不是傅里葉提出的隨時間的指數耗散，而是波幅的無限正弦振蕩。背后的數學問題是同一個。事實上，歐拉已經針對波動方程發表了系數的積分公式。

然而，歐拉從未說過該公式適用于不連續函數，這是傅里葉的工作中最具爭議的一點。無論如何，小提琴琴弦的模型并不涉及不連續的初始條件——那樣的話，模型將是一根斷掉的弦，根本不會振動。但是對于熱來說，考慮將桿的一個區域保持在一個溫度，而讓相鄰區域保持在另一個溫度是很自然的。

實際的過渡將是平滑且非常陡峭的，但是不連續的模型也是合理且更便于計算的。事實上，熱方程的解就解釋了為什么過渡會迅速變得平滑且非常陡峭，因為熱量會橫向擴散。因此一個歐拉不需要擔心的問題變得無可避免，而這讓傅里葉遭了殃。

數學家開始意識到無窮級數是個危險的東西。它們并不總是好好表現為有限和。最終，這些糾結的復雜性得到了解決，但這用到了一個新的數學觀，花費了一百年的艱苦努力。在傅里葉的時代，每個人都覺得自己已經了解了積分、函數和無窮級數是什么，但實際上這些理解都很模糊——“我看到它的時候就認得?！?/p>

因此，當傅里葉提交他的劃時代論文時，科學院的官員有充分的理由保持警惕。他們拒絕讓步，所以1822年，傅里葉通過出版《熱解析理論》（Théorie analytique de la chaleur）一書來繞過他們的反對。1824年，傅里葉出任科學院秘書，狠狠打了批評者一耳光，并在科學院聲譽卓著的期刊上發表了他1811年的原版回憶錄，不刊一字。

我們現在知道，雖然傅里葉在精神上是正確的，但他的批評者也有充分的理由擔心嚴謹性。問題很微妙，答案也不是非常直觀。我們現在所謂的“傅里葉分析”非常好用，但它涉及傅里葉沒有意識到的深層問題。

問題似乎是：傅里葉級數什么時候會收斂到自己要代表的那個函數？也就是說，取的項越多，函數就近似得更好嗎？甚至連傅里葉都知道，答案并不是“一定會”。它似乎是“通常會，但在不連續點處可能出現問題”。例如，在溫度躍變的中點，方波的傅里葉級數是收斂的——但數字錯了。級數和是0，但方波取值為1。

對于大多數物理應用而言，在一個孤立點改變了函數值無關緊要。經過修改的方波看起來仍然是方的。它只是在不連續性上稍有區別。對傅里葉來說，這種問題并不重要。他當時正在對熱流進行建模，不介意模型是否有點兒刻意，或者是否需要做些對最終結果沒有重大影響的技術性改動。但是，收斂問題不能輕易被忽略，因為函數可能具有比方波更復雜的不連續性。

然而，傅里葉聲稱他的方法適用于任何函數，所以它甚至應該適用于這樣的函數：當是有理數時，當是無理數時則。這個函數到處都是不連續的。當時對于這樣的函數，人們甚至不清楚積分意味著什么，結果人們發現這才是爭議的真正原因。沒有人定義積分是什么，至少沒有人定義像這樣的奇怪函數。

更糟糕的是，沒有人定義函數是什么。即使你清理了那些遺漏的情況，這個問題也不僅僅關于傅里葉級數是否收斂。真正的困難在于理解它在什么意義下收斂。

這些問題解決起來很棘手。它需要一種由亨利·勒貝格（Henri Lebesgue）提出的新的積分理論、由格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）從集合理論的角度重新設計的數學基礎（還惹出了一堆新的麻煩）、來自黎曼等巨匠的重要見解，還需要一點兒20世紀的抽象來解決收斂問題。最終的結論是，利用正確的解釋，傅里葉的想法可以變得很嚴謹。

它適用于非常廣泛但并不普遍的一類函數。級數是否對所有的值都會收斂到并不是完全正確的提法；只要在一種特定的技術意義下，不收斂的的值足夠罕見就萬事大吉了。如果函數是連續的，則級數會對任何收斂。在躍變不連續處，如方波從到躍變時，級數會非常平等地收斂到緊鄰躍變任一側處的平均值。有了對“收斂”正確的解釋，級數確實總是會收斂到函數。

它是作為一個整體收斂，而不是逐點收斂。如果要嚴格說明這一點，需要找到合適的方式來衡量兩個函數之間的距離。有了這一切之后，傅里葉級數確實解決了熱方程。但它真正的意義遠不止于此，純數學之外的主要受益者不是熱物理學，而是工程學，特別是電子工程學。

在其最通用的形式中，傅里葉方法將由函數確定的信號表示為所有可能頻率的波的組合。這稱為波的傅里葉變換。原始信號被替換成了它的頻譜——一系列正弦和余弦分量的振幅和頻率，相當于以另一種方式對同一信息進行了編碼。工程師會談論從時域到頻域的轉換。當以不同方式表示數據時，在一種表示中難以進行或不可能的操作可能在另一種表示中變得很容易。

例如，你可以取一次電話交談，對它做傅里葉變換，并去除信號中所有頻率太高或太低導致人耳無法聽到的傅里葉分量。這使得同樣的信道可以發送更多的對話，這也是如今的電話費相對來說如此低廉的一個原因。你無法在未轉換的原始信號上搞這一套，因為它沒有“頻率”這樣一個明顯的特征。你不知道該去掉什么。

這種技術的一個應用是設計能夠在地震中幸存的建筑物。對典型地震產生的振動做傅里葉變換，我們就可以知道，振動的地面在哪些頻率上傳遞的能量最大。建筑物有其自然的振動模態，這會與地震產生共振，也就是做出異常強烈的響應。因此，使建筑物防震的第一個合理的步驟，就是確保建筑物喜歡的頻率與地震波的頻率不同。地震的頻率可以從觀測中獲得，建筑物的頻率則可以使用計算機模型來計算。

這只是傅里葉變換在幕后影響我們的生活的許多方式之一。在地震區建筑物中居住或工作的人們不需要知道如何計算傅里葉變換，但因為有人了解，所以這些居民在地震中幸存的機會大為提高。

傅里葉變換已成為科學和工程學中的常規工具，其應用包括去除老舊錄音中的噪聲（如黑膠唱片上的劃痕造成的咔嗒聲）、使用X射線衍射找到發現生化分子（如DNA）的結構、改善無線電接收、修飾從空中拍攝的照片、搭建聲吶系統（比如潛艇使用的那種），以及在設計階段就防止汽車發生不必要的振動。在傅里葉輝煌思想的成千上萬種日常應用中，我在這里就專門談一種，是大多數人在度假時會不知不覺使用的——數碼攝影。

在最近一次去柬埔寨的旅行中，我使用數碼相機拍攝了大約1400張照片，全都塞進了一張2 GB的存儲卡，還有空間可以再裝400多張照片。確實，我拍的照片分辨率不是特別高，所以每個照片文件的質量大約是1.1 MB。但是圖片是全彩色的，在27英寸的計算機屏幕上看不出任何明顯的顆粒感，因此質量的損失并不明顯。我的相機用了某種辦法把十倍于這張2 GB存儲卡容量的數據塞進了卡里，這就像把一升牛奶倒進一個蛋杯里。然而它還裝下了。問題是：怎么裝進去的呢？

答案是數據壓縮。描述圖像的信息經過處理來減小它的體積。這些處理中有一些是“無損”的，這意味著如果必要的話，可以從壓縮的版本中恢復出原始信息。之所以能夠做到這一點，是因為真實世界的大多數圖像包含冗余信息。

例如，大片的天空往往是相同的藍色（這也是我們喜歡的地方）。你可以存儲矩形的兩個對角坐標，以及“將整個區域設為藍色”的短代碼，而不是一次又一次地重復藍色像素的顏色和亮度信息。當然，實際的做法并不完全是這樣，但它說明了為什么有時能夠進行無損壓縮。如果不是無損的，“有損”壓縮也通?？梢越邮?。

人眼對圖像的某些特征并不特別敏感，這些特征可以記錄在較粗糙的尺度上，而我們大多數人不會注意到，特別是沒有原始圖像可供比較的時候。以這種方式壓縮信息就像是打雞蛋：在一個方向上很容易，也完成了所需的工作，但它是不可逆的。非冗余信息丟失了。只是考慮到人類視覺的工作原理，這些信息一開始就沒起太大作用罷了。

與大多數隨拍相機一樣，我的相機將圖片保存在帶有類似于“P1020339.JPG”的標簽的文件中。后綴指的是“聯合圖像專家組”（JPEG，joint photographic experts group），表明已使用特定的數據壓縮系統。用于調整和打印照片的軟件（例如Photoshop或iPhoto）都可以解碼JPEG格式，并將數據再轉換成圖片。數以百萬計的人經常使用JPEG文件，但知道它們被壓縮了的人就不那么多了，而想知道工作原理的人就更少了。

這并不是批評：你不必知道原理就可以使用它，這才是重點。相機和軟件可以為你處理一切。但是，大致了解軟件的作用以及原理往往是個好主意，哪怕只是為了了解有些軟件是多么巧妙。如果你想的話，這里的細節可以跳過：我想讓你體會一下相機存儲卡中的每一張圖片里融入了多少數學，但具體是哪些數學就不那么重要了。

JPEG格式2融合了五個不同的壓縮步驟。第一步將顏色和亮度信息（開始時是紅色、綠色和藍色的強度）轉換為另外三個在數學上等效，卻更適合人類大腦感知圖像的方式的信息。一個（亮度）代表整體亮度——同一圖片的黑白或“灰度”版本。另外兩個（色度）分別是亮度與藍光量和紅光量之差。

接下來，色度數據被粗?；簤嚎s到更小的數值范圍。僅這一步就可將數據量減半。它沒有造成可感知的損失，因為人類視覺系統對色差的敏感度遠低于相機。

第三步使用了傅里葉變換的一種變體。這不是用于隨時間變化的信號，而是用于二維空間中的圖案。數學基本上是一樣的。所涉及的空間是圖片中的子像素塊。為簡單起見，只考慮亮度分量：同樣的想法也適用于顏色信息。我們從一個64像素的塊開始，對于每一個像素，我們需要存儲一個數字，即該像素的亮度值。

離散余弦變換是傅里葉變換的一種特殊情況，它將圖像分解為標準“條紋”圖像的疊加。其中一半圖像的條紋是水平的，另一半是垂直的。條紋有不同的間隔，就像普通傅里葉變換中的各種諧波一樣，其灰度值與余弦曲線非常接近。在塊的坐標下，它們是各種整數和的的離散版本，如圖9.2所示。

圖 9.2　可以獲得任何 8 8 像素塊的64種基本圖案

這一步為第四步鋪平了道路，而第四步再次利用了人類視覺的不足。我們對大區域的亮度（或顏色）變化比對排列緊密的變化更敏感。因此，隨著條紋的間距變得更精細，圖中的圖案就可以不用記錄得那么精確。這進一步壓縮了數據。第五步，也是最后一步，使用“霍夫曼編碼”來以更高效的方式表達64種基本圖案的強度列表。

每次使用JPEG拍攝數碼圖像時，相機中的電子裝置都會執行所有這些操作，也許除了第一步。（專業人士現在轉而使用RAW文件，它們記錄實際數據而不壓縮，再加上常見的“元數據”，如日期、時間、曝光等。這種格式的文件會占用更多存儲空間，但存儲器每個月都在越變越大，越來越便宜，所以這也不再重要。）當數據量減少到原始數量的10%時，訓練有素的眼睛可以發現JPEG壓縮造成的圖像質量損失，未經訓練的眼睛可以在文件大小降低到2%～3%時清楚地看出質量損失。因此，與原始圖像數據相比，你的相機可以在存儲卡上記錄大約十倍的圖像數據，除非是專家，大多數人對此毫無覺察。

由于這些應用，傅里葉分析已成為工程師和科學家的本能反應，但對于某些用途，該技術有一個重大缺陷：正弦和余弦會延伸到無窮。傅里葉的方法在試圖表示短信號時會遇到問題。它需要大量的正弦和余弦才能模仿局部的尖峰。問題不在于把尖峰的基本形狀搞對，而是要讓尖峰之外的所有東西都等于零。

你必須砍掉所有那些正弦和余弦無限長的波動尾巴，做法是添加更多的高頻正弦和余弦來拼命抵消不必要的垃圾。因此傅里葉變換對于類似尖峰的信號是非常糟糕的：變換后的版本比原始版本更復雜，需要更多數據來描述它。

挽救局面的是傅里葉方法的一般性。正弦和余弦可以用在這里，因為它們滿足一個簡單條件：它們在數學上是獨立的。正式來說，這意味著它們是正交的：在一種抽象但容易理解的意義上，它們彼此成直角。歐拉的技巧（最終由傅里葉重新發現）就在這里派上了用場。將兩個基本正弦波形相乘并在一個周期內積分，就可以衡量它們之間的關系是否密切。

如果積分結果很大，說明它們非常相似；如果積分結果是零（正交性的條件），說明它們相互獨立。傅里葉分析之所以成立，是因為它的那些基本波形既正交又完備：它們是獨立的，而且有足夠多種，適當地疊加后足以表達任何信號。實際上，它們相當于所有信號構成的空間上的一個坐標系，就像普通空間中的三個軸一樣。

主要的新性質是我們現在擁有無限多個軸：每個基本波形都是一個軸。一旦你適應了這種思想，它就不會在數學上造成多少困難。它只是意味著，你必須使用無窮級數而不是有限和，并且稍微留意一下級數什么時候收斂。

即使在有限維空間中，也存在許多不同的坐標系。例如，旋轉軸可以指向新方向。所以在信號的無限維空間中，存在與傅里葉非常不同的另外一些坐標系也就不足為奇了。近年來，整個領域中最重要的發現之一就是一種新的坐標系，其基本波形被限制在有限的空間區域里。它們被稱為“小波”，可以非常有效地表達尖峰，因為它們本身就是尖峰。

直到最近才有人意識到，可以進行類似尖峰的傅里葉分析。起步很簡單：選擇特定形狀的尖峰，即“母小波”（圖9.3）。然后將母小波側向滑動到各個位置，并改變比例來擴展或壓縮，從而生成子小波（以及孫小波、曾孫小波，等等）。同樣道理，傅里葉的基本正弦和余弦曲線是“母小正弦波”，而高頻率的正弦和余弦曲線是“子小正弦波”。不過這些曲線是周期性的，和尖峰看起來不一樣。

圖 9.3　多貝西小波

小波被設計用于有效地描述類似尖峰的數據。此外，由于子小波和孫小波只是母小波的縮放版，因此可以聚焦于特定的細節水平。如果你不想看到細微的結構，只需從小波變換中刪除所有的曾孫小波就好了。要用小波表達豹子，你需要用幾個大的小波表示豹子的身體，用較小的小波表示眼睛、鼻子，當然還有斑點，用非常小的小波來表示一根根毛發。

要壓縮表達豹子的數據，你可能會認為單根毛發無關緊要，因此只需刪除這些特定的小波分量。最棒的是，圖像仍然看起來像豹子，它仍然有斑點。如果你嘗試使用豹子的傅里葉變換進行這個操作，那么分量列表會很長，你也不清楚應刪除哪些項，結果可能認不出來那是只豹子了。

這一切都非常好，但母小波應該是什么形狀呢？在很長一段時間里，沒有人可以解決這個問題，甚至也沒法證明這樣好的形狀存在。但在20世紀80年代初，地球物理學家讓·莫萊（Jean Morlet）和數學物理學家亞歷山大·格羅斯曼（Alexander Grossmann）發現了第一個合適的母小波。1985年，伊夫·梅耶爾（Yves Meyer）發現了一個更好的母小波。

1987年，貝爾實驗室的數學家英格麗·多貝西（Ingrid Daubechies）徹底顛覆了整個領域。雖然之前的母小波看起來很像尖峰，但它們都有一個非常微小的數學尾巴，一直擺動到無限遠。多貝西發現了一個沒有尾巴的母小波：在某個時間間隔之外，母小波總是恰好為零——這是一個真正的尖峰，完全局限于一個有限的空間區域內。

小波類似于尖峰的特征使它們特別適合壓縮圖像。它們最初的大規模實際用途之一是存儲指紋，客戶是美國聯邦調查局（FBI）。FBI的指紋數據庫包含3億條記錄，每條記錄有8個指紋和2個拇指紋，最初存儲在紙卡上。這種存儲介質使用不便，于是他們把圖像數字化并將結果存儲在計算機上。明顯的優勢包括能夠快速自動搜索與犯罪現場發現的指紋相匹配的指紋。

每張指紋卡的計算機文件長度為10兆字節（MB）：8000萬位二進制數字。因此整個存檔占用3000 TB的存儲空間：2.4億億個二進制數字。更糟糕的是，每天要增加3萬個新指紋。因此存儲需求每天將增加2.4萬億位二進制數字。FBI明智地判斷自己需要一些數據壓縮方法。

由于各種原因，JPEG不適合，因此在2002年，FBI決定使用小波，即“小波/標量量化（WSQ）方法”來開發一種新的壓縮系統。WSQ通過刪除整個圖像中的細節，將數據減少到其大小的5%。這絲毫不影響眼睛或計算機識別指紋的能力。

小波最近還有許多在醫學成像方面的應用。醫院現在使用幾種不同類型的掃描儀來獲得人體或重要器官（如大腦）的二維橫截面。這些技術包括CT（計算機斷層掃描術）、PET（正電子發射體層成像）和MRI（磁共振成像）。在斷層掃描術中，機器在身體的單一方向上觀察總組織密度或類似的量，就像你在固定位置看看所有組織是不是會變得稍微透明一樣。通過從許多不同角度拍攝一系列這樣的“投影”，再用上一些巧妙的數學，就可以重建二維圖像。

在CT中，每個投影都需要X射線暴露，因此有充分的理由來限制所獲取的數據量。一方面，在所有這些掃描方法中，較少的數據在獲取時所需的時間也較少，同樣的設備就可以用于更多的患者。另一方面，良好的圖像需要更多的數據，才能讓這種重建方法工作得更好。小波提供了一種折中方案，減少的數據量也帶來同樣可接受的圖像。通過小波變換去除不需要的分量，再次“反變換”得到圖像，就可以平滑和清理不良的圖像。小波還從根本上改進了掃描儀獲取數據的方式。

事實上，小波幾乎到處都是。地球物理學和電氣工程領域雖然相隔遙遠，研究人員卻都在把小波引入自己的領域。羅納德·考夫曼（Ronald Coifman）和維克多·魏克爾豪斯（Victor Wickerhauser）用它們來消除錄音中不想要的噪聲：最近的一次成功是一場演出——勃拉姆斯演奏他自己的《匈牙利舞曲》。

錄音最初于1889年記錄在蠟筒上，而蠟筒已經部分熔化；之后它被重新錄制到78轉的唱片上。考夫曼從唱片的一次無線電廣播入手，當時音樂幾乎已經完全湮沒在周圍的噪聲里。在利用小波進行“清洗”之后，你就可以聽到勃拉姆斯的演奏了——并不完美，但至少聽得見。對于一個200年前首次在熱流物理學中出現，并被拒絕發表的想法來說，這樣的戰績可謂輝煌。

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《改變世界的17個方程》

作者：[英] 伊恩?斯圖爾特

譯者：勞佳

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了解世界運轉的深層道理，看懂科學發展的規律

方程是一首首數學的詩，言簡意賅，卻充滿意義。闡釋自然與社會現象，連接數學與物理現實，是方程的力量與美之所在。

從無線電廣播到智能手機，從地圖測繪到衛星導航，從世界旅行到太空探索……當我們去了解方程的真正價值，就會發現周圍世界的本質。勾股定理、牛頓定律、混沌理論、相對論，方程展現了世界的深層模式，它們是前人的智慧，也為未來的探索打開大門——這是17個改變人類歷史進程的方程所講述的人類文明崛起的故事。