正整數空間的概念

作者：李鐵鋼

摘要：本文采用了一種基礎而直接的方法，初步探索并研究了正整數（數論領域）中的一部分規律性。通過利用無限數量的等差數列組合，構建了一個所謂的“正整數空間”，從而獲得了一套關于自然數規律探討的理論體系。此外，本文還對著名的哥德巴赫猜想提出了一個證明方法，并且得到了一些積極的結果。

關鍵詞：正整數空間概念、合數項數列、合數項公式、素數項公式、合數與素數的判定式、哥德巴赫猜想的證明。

引言

在這個浩瀚無垠的宇宙之中，存在著兩種基礎而至關重要的元素，它們就如同房屋的骨架一般支撐著整個宇宙結構。這兩種元素，一種是數字，另一種則是幾何圖形。自遠古時代起，人類的智慧就開始探索和應用數字和幾何圖形的規律，以及它們之間的相互關聯。

早在公元前300年左右的歷史時期，一位偉大的古希臘數學家，歐幾里得，將前人積累的幾何知識和經驗，通過他的智慧和努力，提升到了理論的層面，并撰寫了一部具有劃時代意義的著作，這部著作的名字就叫做《幾何原本》。

正整數，作為數學領域中一個古老而基礎的概念，幾千年來一直吸引著無數學者的研究和探討。隨著時間的推移，正整數的研究逐漸形成了數學的一個分支，即“數論”。盡管如此，直到今天，我們仍然沒有找到一個合適的工具，能夠使用“初等的研究方法”來對正整數的內在規律進行深入的理論研究和探討。

在近300年的時間里，世界級的大數學家們也對自然數進行了深入而艱難的探索。雖然我們已經擁有一門古老的數學分支《數論》，它專門研究自然數中的規律，但其研究方法不是過于初級沒有頭緒，往往就是過于深奧和復雜，以至于許多問題對于普通人來說，難以學習和研究。

數學家們一直沒有找到所謂的素數公式，也沒有搞清楚素數在正整數中的規律。

在這里，我將提出一個初等的方法，用以研究正整數內部的規律。這個方法就是“正整數空間”的概念及其定義，它將為我們提供一個新的視角，去理解和探索正整數的奧秘。

1、正整數空間概念的出現和它的意義

為了便于研究問題，我們不再采用教科書中的等差數列標準形式，而是使用KN+A的形式來表示等差數列。只要K和N互質，這樣的等差數列就被定義為“含素數數列”，并且該數列包含的素數數量是無限的，這一點無需證明。

正整數空間的概念指的是：所有的正整數1、2、3……可以被表示為若干個等差數列的集合。在這種表示方法中，每個正整數，無論是素數還是合數，都對應一個特定的項數N。因此，素數在數列中擁有了確定的位置，而不是隨機分布。

看下面的圖一，

在這個表格中，每一橫排的等差數列均能代表所有正整數，從1到無限。

2、 正整數空間N+1 的意義

正整數空間N+1，表格如如圖二，

因此，數列N+1涵蓋了所有正整數。同時，每個正整數——無論是素數還是合數——都對應著數列中的一個特定項數N。

在探討正整數的規律時，使用等差數列作為研究工具是一個非常有效的方法。然而，重要的是，在開始這樣的研究之前，我們必須明確指出我們是在哪一個特定的“正整數空間”內進行探討。這是因為不同的正整數空間可能會導致不同的規律和特性。只有當我們指定了研究的正整數空間，等差數列才能獲得其真正的指向性，并且能夠與現實世界中的具體問題相對應，從而具有實際的意義。否則，如果我們忽略了這一前提，那么所討論的等差數列就可能會變得混亂不堪，缺乏明確的指向和特定的意義，最終導致研究結果無效，無法為現實世界的問題提供有價值的見解。

通過項數N，我們可以構建出一個按順序排列的、數量無限的合數項數列，如下所示：

1n+0

2n+1

3n+2

5n+4

7n+6……

Sn+K……

這些合數項數列公式可以寫成，Sn+K 的形式。

S 是一個素數，n 是系數，取值范圍包括 0、1、2 等等，而 K 表示合數首次出現的位置。

請注意，這里的“1n+0”中的“1”指的是一個素數。關于這個問題，我們暫不展開討論。至于合數出現的周期數，它與前面提到的第一個素數的數值相同。

現在，讓我們來觀察“3n+2”這一合數項數列。

當n=0時，合數項數列“3n+2”等于2。請注意這里的“2”指的是項數，將其代入“n+1”數列中，我們得到3。隨后，數列中出現的合數都是以3為周期的，例如：6、9、12……

我們可以將正整數1、2、3……視為一個等差數列，但為何不直接稱之為“合數數列”，而是采用“合數項數列”這一術語呢？

這是因為當我們引入一個新的項數N時，研究方法發生了根本性的變化。現在，我們關注的是“正整數空間”中的N+1維空間。

我們可以在數列N+1中定義一個“合數項”公式，即

Nh=a(b+1)+b （公式1）

這個公式必須與數列N+1的表格配合使用，否則它將是無效且無意義的。

在公式中，Nh代表合數項，而a和b都是項數，它們的取值范圍包括0、1、2、3等自然數。

例如，取a=1和b=5時，Nh=11，代入N+1的合數計算得11+1=12。

再取a=3和b=4時，Nh=19，對應的N+1值為20。

我們擁有一個相對的素數項公式，

Hs = N - Nh （公式 2）

當我們面對一個龐大的數字，如何判斷它是合數還是素數呢？這里有一個簡單的判定方法：

K=(N-b)/b+1 （公式3）

將數字N代入上述判定公式，如果方程存在整數解，則該數字為合數；若無解，則為素數。顯然，對于極大的數字，手動計算是不現實的，此時我們可以編寫程序借助計算機來完成這一任務。

這個公式我們稱它為判定式。

3、簡單介紹幾個正整數空間的意義

1）正整數 4N+A 空間，如圖三，

4N+A數列構成了一個空間，在這個空間中，素數分布在4N+1、4N+3的數列中。該空間由兩個合數項公式構成一組方程，但此處不再詳細闡述。

2）正整數6N+A空間，圖四如下，

這個表格可以變形為，看圖五，

這個空間具有其獨特性，因為在所有正整數中，除了2和3這兩個素數之外，其余的素數均位于形如6N±1的數列中。利用這個空間，我們能夠解決數論領域中一些歷史悠久的問題。

3）正整數8N+A 空間看圖六，

此空間適宜構建一個平面直角坐標系，其中素數分布于四個坐標軸上。它們可以借助同心圓來表示，與化學元素周期表中元素原子核外電子數的分布存在一定的相似性。

4）正整數10N+A看圖七，

這個空間的價值在于，通過這十個數列的組合，可以表示所有的正整數。而這些數列的平方數列，則代表了所有正整數的平方。其獨特之處在于，同一數列中的數字末尾都相同。

這里僅舉一小部分例子，而這種空間實際上是無限多的。

4、利用正整數空間的概念證明哥德巴赫猜想

什么是哥德巴赫猜想？

在這里，我們僅需證明一個觀點：在所有正整數中，包括2在內的每一個偶數都可以表示為兩個素數之和。

第一步，證明前我們先復習一下“正整數空間”的概念。

看圖一，圖中每一行均能代表所有正整數，只有確定了所使用的正整數空間，證明中才能應用該空間內的等差數列。否則，使用等差數列來表示正整數將是不確定的，這不符合數學的邏輯性和嚴謹性。

第二步，選取正整數空間的2N+A ，A=1、2空間。

這一步至關重要。為何如此關鍵？因為正整數可以通過等差數列分解為無限多的空間，只有確定了這些空間，正整數才能以“唯一的等差數列組”形式來表示。這樣一來，無論是奇數、偶數、素數還是合數，它們的位置都將固定下來，并且會對應一個特定的項數N。否則，任何一個正整數都可以用無限多的等差數列形式來表示。

確定了空間后我們才可以做一個2N+A的表格，如下

務必重視序號項數N的重要性，我與傳統數學家們在數論研究上的區別，正是在于引入了這個N的概念。

第三步，我們仔細研究2N+A空間表格里面的一些性質。

1）可以用兩個一組等差數列2N+1和數列2N+2表示全部正整數；

2）數列2N+1是正整數中的全部奇數，包含除2以外的全部素數。

數列2N+2包含正整數中的全部偶數，其中2是素數，也是最小的偶數；

3）在這里1是單位，但是在不同的數學環境里它可以是素數，也可以是合數；

4）數列2N+2中的每一個偶數，在數列2N+1中都可以有一組首尾相加的數對。數量是這個偶數所在項數N的一半。比如，12=1+11=3+9=5+7。其中就至少有一對兩個素數相加的情況出現；

5）、選定“正整數空間”后，素數都有自己的固定位置，它的出現不是概率隨機的。所以素數與合數的變化規律，從開始到無窮都是遵守一個規律不會有突變；

6）隨著偶數的增大，項數N的增加，素數在總體中所占比例降低，濃度降低，但是素數的總數是還是增多的；

7）偶數增大，素數兩兩相加不是沒有或降低，而是增大的，僅僅是增加速度變慢。

8）任取表格里的一個項數N，都可以表示成它前面項數的首尾相加。比如 N=7，可以表示成0+7=1+6=2+5=3+4。

第四步，證明哥德巴赫猜想。

1）在數列2N+1中任意選取兩個素數q和p，它們對應的項數分別為m和n。這我們可以做到。

2）它們的項數之和為 m+n=K，且這些項數均為固定值。

3）觀察表格 K 對應的是一個偶數 O，從而構成了一個閉區間 [0, K]。

4）請注意，項數N總是由其前面項數兩兩首尾相加的結果構成。例如，當N=6時，0+6、1+5、2+4以及3+3均等于6，整個序列中的每一項都具有這樣的特性。

5）因此，m+n=K 在閉區間[0，K] 內，項數N等于前項項數首尾兩兩相加具有普遍性，位置變得不再固定，這時可以把閉區間改寫成[0，N]。

既有，q+p=(2m+1)+2(n+1)=2（m+n)+2 = 2N+2

結論：q+p =2N+2 （公式 1）

這樣我們就會看到：

對于任意偶數對應的項數N，它都可以被表示為一對數m和n的和，其中m和n是素數的項數。這樣的表示方法將兩個素數相加的固定位置問題轉化為在整個區間內任意兩個數相加的項數問題。因為兩個素數是任取的，所以兩個素數相加等于偶數的規律適用于整個閉區間[0, N]。即使項數N趨向于無窮大，這一規律依然成立。

即， 偶數都可以表示成兩個素數之和。

2025年6月1日星期日

我二十多年的研究成果，精簡后也就是這些東西，翻譯成英語放到外網上去即可。要是把它擴充鋪展開來，可以寫成厚厚的幾大本書。