摘要

非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在自然界中無(wú)處不在，且難以預(yù)測(cè)。這些系統(tǒng)對(duì)初始條件的小擾動(dòng)可能十分敏感，并且通常由多個(gè)尺度的過(guò)程組成。基于李雅普諾夫譜的經(jīng)典方法依賴于對(duì)動(dòng)態(tài)前向算子的了解或其數(shù)據(jù)導(dǎo)出的近似。不過(guò)，這個(gè)算子通常是未知的，或者數(shù)據(jù)噪聲太大，無(wú)法獲得其真實(shí)表示。在這里，我們提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法來(lái)分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的局部可預(yù)測(cè)性。這種基于遞歸概念的方法與局部動(dòng)態(tài)指標(biāo)的成熟框架密切相關(guān)。應(yīng)用于理想化系統(tǒng)和來(lái)自大規(guī)模大氣場(chǎng)的真實(shí)數(shù)據(jù)集時(shí)，我們的方法在估計(jì)局部可預(yù)測(cè)性方面證明了其有效性。此外，我們討論了它與其他局部動(dòng)態(tài)指標(biāo)的關(guān)系，以及它如何揭示可預(yù)測(cè)性的尺度依賴特性。進(jìn)一步地，我們探討了它與信息理論的聯(lián)系，包含加權(quán)策略的擴(kuò)展以及實(shí)時(shí)應(yīng)用。我們相信這些方面共同展示了它作為復(fù)雜系統(tǒng)強(qiáng)大診斷工具的潛力。

關(guān)鍵詞：時(shí)間延遲遞歸（time-lagged recurrence）、局部可預(yù)測(cè)性（local predictability）、動(dòng)力系統(tǒng)、數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法、局部動(dòng)力指數(shù)（local dynamical indices）、李雅普諾夫指數(shù)（Lyapunov exponents）、極端值理論（extreme value theory）、天氣預(yù)測(cè)、相空間

論文題目：Time-lagged recurrence: A data-driven method to estimate the predictability of dynamical systems 論文鏈接：https://www.pnas.org/doi/abs/10.1073/pnas.2420252122 發(fā)表時(shí)間：2025年5月16日 論文來(lái)源： PNAS

從天氣變化到生態(tài)系統(tǒng)演化，自然界中大多數(shù)復(fù)雜系統(tǒng)的行為都遵循非線性動(dòng)力學(xué)規(guī)律。這些系統(tǒng)的核心特征之一是混沌性（chaos）：微小的初始擾動(dòng)可能導(dǎo)致長(zhǎng)期預(yù)測(cè)的徹底失效。傳統(tǒng)上，科學(xué)家依賴李雅普諾夫指數(shù)（Lyapunov exponents）等全局指標(biāo)評(píng)估系統(tǒng)的平均可預(yù)測(cè)性，該指數(shù)描述了相鄰軌跡的指數(shù)發(fā)散速率，無(wú)法捕捉狀態(tài)依賴的局部特性（state-dependent local properties），例如，大氣環(huán)流在某些區(qū)域可能比另一些區(qū)域更容易預(yù)測(cè)。如何從觀測(cè)數(shù)據(jù)中直接提取局部可預(yù)測(cè)性信息，成為動(dòng)力系統(tǒng)研究的重要挑戰(zhàn)。此外，現(xiàn)有方法多依賴于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的線性近似，難以處理非線性效應(yīng)主導(dǎo)的有限擾動(dòng)。近期，一項(xiàng)發(fā)表于 PNAS 的研究提出了一種名為時(shí)間延遲遞歸（time-lagged recurrence，TLR）的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法，為這一難題提供了創(chuàng)新解決方案。

時(shí)間滯后遞歸（TLR）：數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的新指標(biāo)

本文提出的時(shí)間滯后遞歸（TLR）方法摒棄了對(duì)系統(tǒng)模型的依賴，直接從觀測(cè)數(shù)據(jù)中提取局部可預(yù)測(cè)性信息。其核心思想是：通過(guò)相空間中狀態(tài)的“遞歸”（recurrence）量化系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體而言，對(duì)于一個(gè)參考狀態(tài)ζ，研究者首先識(shí)別其鄰近狀態(tài)（稱為“遞歸點(diǎn)”），然后追蹤這些鄰近狀態(tài)在未來(lái)某一時(shí)間窗口η內(nèi)的演化軌跡。若多數(shù)鄰近軌跡在時(shí)間 η 后仍接近參考狀態(tài)的未來(lái)位置，則表明該狀態(tài)具有高可預(yù)測(cè)性；反之則意味著低可預(yù)測(cè)性。

TLR方法的三步框架

1. 遞歸點(diǎn)識(shí)別：利用極端值理論（extreme value theory），通過(guò)距離分布的分位數(shù)閾值（quantile threshold）篩選參考狀態(tài)的鄰近點(diǎn)，避免噪聲干擾（圖 1 藍(lán)色實(shí)心點(diǎn)）。
2. 未來(lái)狀態(tài)追蹤將遞歸點(diǎn)向前演化至?xí)r間窗口 η，生成“前向遞歸點(diǎn)”（forward recurrences，圖 1 藍(lán)色空心點(diǎn)），并與參考狀態(tài)的未來(lái)鄰域（forward-reference-state recurrences，圖 1 橙色空心點(diǎn)）進(jìn)行匹配。
3. 可預(yù)測(cè)性量化計(jì)算匹配比例（即前向遞歸點(diǎn)與未來(lái)鄰域的交集占比），定義為局部可預(yù)測(cè)性指數(shù) 。該值越接近1，表明該狀態(tài)的局部可預(yù)測(cè)性越高。

值得注意的是，TLR通過(guò)分位數(shù)閾值自適應(yīng)調(diào)整鄰域尺度，能夠揭示不同空間尺度下的可預(yù)測(cè)性特征。例如，小尺度鄰域可能反映短期擾動(dòng)的影響，而大尺度鄰域則對(duì)應(yīng)系統(tǒng)長(zhǎng)期演化的穩(wěn)定性。

圖 1. 在Lorenz-63系統(tǒng)的相空間中演示了計(jì)算的原理圖。

驗(yàn)證：洛倫茲模型和真實(shí)大氣環(huán)流

洛倫茲-63系統(tǒng)：混沌吸引子的可預(yù)測(cè)性圖譜

研究者首先在經(jīng)典的洛倫茲-63模型中驗(yàn)證TLR的有效性，選用了時(shí)間窗口。圖 2展示了的計(jì)算結(jié)果，其中相空間中的每個(gè)狀態(tài)著色為對(duì)應(yīng)的值，結(jié)果表明：

• 短期預(yù)測(cè)窗口（如，為該系統(tǒng)的李雅普諾夫時(shí)間）：吸引子兩翼（wings）的可預(yù)測(cè)性較高，而軌跡切換區(qū)域（lobe-switching region）的 值相對(duì)較低。

• 長(zhǎng)期預(yù)測(cè)窗口（如）：隨著時(shí)間窗口增加，整體可預(yù)測(cè)性急劇下降，但部分中間區(qū)域可保持相對(duì)穩(wěn)定。

圖 2. Lorenz-63系統(tǒng)的 隨著η的分布情況。

進(jìn)一步聚類分析表明，可預(yù)測(cè)性的空間異質(zhì)性與系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性一致。例如，吸引子兩翼的軌跡雖易快速離開(kāi)鄰域（低持久性，low persistence），但因發(fā)散速度較慢，仍表現(xiàn)出較高的短期可預(yù)測(cè)性。這一結(jié)果挑戰(zhàn)了傳統(tǒng)觀點(diǎn)——低持久性必然對(duì)應(yīng)低可預(yù)測(cè)性。

大氣環(huán)流：天氣模式的預(yù)測(cè)瓶頸

在真實(shí)數(shù)據(jù)驗(yàn)證中，研究者聚焦歐洲-大西洋區(qū)域的500百帕位勢(shì)高度場(chǎng)（Z500），分析冬季天氣型（weather regimes）的可預(yù)測(cè)性差異。結(jié)果顯示：

• 北大西洋濤動(dòng)負(fù)相位（NAO?）的可預(yù)測(cè)性最高，其次是正相位（NAO+）。

• 阻塞型天氣（如斯堪的納維亞阻塞，Scandinavian Blocking）的值最低，與已知的阻塞高壓難以預(yù)測(cè)的現(xiàn)象一致。

圖 3. 北大西洋冬季天氣狀況的可預(yù)測(cè)性分析。

這一發(fā)現(xiàn)不僅與氣候模式（climate models）的預(yù)測(cè)結(jié)果吻合，還揭示了TLR在高維復(fù)雜系統(tǒng)中的實(shí)用性——無(wú)需降維或簡(jiǎn)化假設(shè)，直接從原始數(shù)據(jù)中提取局部信息。

理論拓展：與信息論及經(jīng)典指標(biāo)的比較

TLR方法的一個(gè)關(guān)鍵優(yōu)勢(shì)在于其與信息論的天然聯(lián)系。研究者證明，可解釋為條件概率（conditional probability），即“已知當(dāng)前狀態(tài)在鄰域內(nèi)，其未來(lái)狀態(tài)仍落入未來(lái)鄰域”的概率。這一視角將可預(yù)測(cè)性直接關(guān)聯(lián)到香農(nóng)熵（Shannon entropy），為量化系統(tǒng)不確定性提供了新工具。

與經(jīng)典指標(biāo)（如非線性局部李雅普諾夫指數(shù)，NLLE）的對(duì)比顯示，TLR在非線性區(qū)域的表現(xiàn)更優(yōu)。例如，NLLE假設(shè)誤差呈指數(shù)增長(zhǎng)，而TLR通過(guò)遞歸點(diǎn)的實(shí)際演化直接捕捉非線性效應(yīng)。此外，TLR能夠揭示可預(yù)測(cè)性的“非單調(diào)衰減”——在某些時(shí)間窗口，系統(tǒng)可能因吸引子結(jié)構(gòu)出現(xiàn)短暫的可預(yù)測(cè)性回升。

實(shí)時(shí)應(yīng)用與未來(lái)展望

盡管TLR依賴于未來(lái)狀態(tài)信息，無(wú)法直接用于實(shí)時(shí)預(yù)測(cè)，但研究者提出了一種歷史相似性代理法（analogue-based proxy）。通過(guò)搜索當(dāng)前狀態(tài)的“歷史相似狀態(tài)”并計(jì)算其平均，可實(shí)時(shí)估計(jì)系統(tǒng)的可預(yù)測(cè)性。初步測(cè)試表明，該方法在洛倫茲系統(tǒng)中能有效捕捉相空間特征，為天氣與氣候預(yù)測(cè)的實(shí)時(shí)應(yīng)用鋪平了道路。

時(shí)間滯后遞歸（TLR）的提出，標(biāo)志著數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法在動(dòng)力系統(tǒng)研究中的一次重要突破。它不僅克服了傳統(tǒng)指標(biāo)對(duì)模型和線性近似的依賴，還為高維復(fù)雜系統(tǒng)（如大氣環(huán)流、生態(tài)系統(tǒng)）的局部可預(yù)測(cè)性分析提供了通用框架。未來(lái)，結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)與極端值理論，TLR有望在氣候預(yù)測(cè)、災(zāi)害預(yù)警等領(lǐng)域發(fā)揮更大價(jià)值。

彭晨| 編譯

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集智俱樂(lè)部成立于 2003 年，是一個(gè)從事學(xué)術(shù)研究、享受科學(xué)樂(lè)趣的探索者的團(tuán)體，也是國(guó)內(nèi)最早的研究人工智能、復(fù)雜系統(tǒng)的科學(xué)社區(qū)。它倡導(dǎo)以平等開(kāi)放的態(tài)度、科學(xué)實(shí)證的精神，進(jìn)行跨學(xué)科的研究與交流，力圖搭建一個(gè)中國(guó)的 “ 沒(méi)有圍墻的研究所 ”。集智科學(xué)研究中心（民間非盈利企業(yè)）是集智俱樂(lè)部的運(yùn)營(yíng)主體，長(zhǎng)期運(yùn)營(yíng)社區(qū)生態(tài)，催化理論創(chuàng)新。使命：營(yíng)造跨學(xué)科探索小生境，催化復(fù)雜性科學(xué)新理論。

復(fù)雜系統(tǒng)自動(dòng)建模讀書會(huì)第二季

“復(fù)雜世界，簡(jiǎn)單規(guī)則”。

集智俱樂(lè)部聯(lián)合復(fù)旦大學(xué)智能復(fù)雜體系實(shí)驗(yàn)室青年研究員朱群喜、浙江大學(xué)百人計(jì)劃研究員李樵風(fēng)、清華大學(xué)電子工程系數(shù)據(jù)科學(xué)與智能實(shí)驗(yàn)室博士后研究員丁璟韜、美國(guó)東北大學(xué)物理系A(chǔ)lbert-László Barabási指導(dǎo)的博士后高婷婷、北京大學(xué)博雅博士后曹文祺、復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)方向博士研究生趙伯林、北京師范大學(xué)系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院博士研究生牟牧云，共同發(fā)起。

讀書會(huì)將于9月5日起每周四晚上20:00-22:00進(jìn)行，探討四個(gè)核心模塊：數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的復(fù)雜系統(tǒng)建模、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)推斷、具有可解釋性的復(fù)雜系統(tǒng)推斷（動(dòng)力學(xué)+網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)）、應(yīng)用-超材料設(shè)計(jì)和城市系統(tǒng)，通過(guò)重點(diǎn)討論75篇經(jīng)典、前沿的重要文獻(xiàn)，從黑盒（數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)）到白盒（可解釋性），逐步捕捉系統(tǒng)的“本質(zhì)”規(guī)律，幫助大家更好的認(rèn)識(shí)、理解、預(yù)測(cè)、控制、設(shè)計(jì)復(fù)雜系統(tǒng)，為相關(guān)領(lǐng)域的研究和應(yīng)用提供洞見(jiàn)。歡迎感興趣的朋友報(bào)名參與！

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