來源：量子位| 公眾號 QbitAI

聞樂 發(fā)自 凹非寺

4位數(shù)學(xué)家，耗時近10年，將“數(shù)學(xué)大一統(tǒng)理論”向前推動關(guān)鍵一步！

1994年，安德魯·懷爾斯通過證明橢圓曲線與模形式之間的聯(lián)系，解決了困擾數(shù)學(xué)界300多年的費馬大定理。

時隔30年，4位數(shù)學(xué)家將這一關(guān)鍵理論從橢圓曲線擴展到了更復(fù)雜的數(shù)學(xué)對象。

這意味著，朗蘭茲綱領(lǐng)取得了重大進展。

朗蘭茲綱領(lǐng)被視為現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中最大的單項項目，被稱為“數(shù)學(xué)大一統(tǒng)理論”，它提出數(shù)論、代數(shù)幾何、群表示論這三個獨立發(fā)展的數(shù)學(xué)分支之間其實密切相關(guān)。

諸多世界級數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎獲得者，都長期撲在這一領(lǐng)域的研究上。國內(nèi)，“北大黃金一代”中惲之瑋、張偉、袁新意、朱歆文也被該領(lǐng)域深深吸引。

此次最新成果，證明了普通阿貝爾曲面總能對應(yīng)一個模形式。

4位數(shù)學(xué)家用230頁論文，給出證明。

而值得一提的是，在這之中，出身北大數(shù)院的中國數(shù)學(xué)家潘略提出的相關(guān)研究，成為撬開這一突破的關(guān)鍵參考。

潘略本人，今年也剛剛獲得素有“諾獎風(fēng)向標(biāo)”之稱的斯隆獎。

將「模性」從橢圓曲線擴展到阿貝爾曲面

簡單概括，此次最新突破在于，通過擴展模性理論，實現(xiàn)阿貝爾曲面與模形式的聯(lián)系。

模形式是一種在數(shù)學(xué)里很特別的函數(shù)，它的“家”是復(fù)上半平面。

也就是所有虛部大于0的復(fù)數(shù)組成的區(qū)域。

簡單來說，對于復(fù)上半平面的每一個點，模形式都能給出一個對應(yīng)的函數(shù)。

并且，用特殊整數(shù)矩陣（行列式為1的二階整數(shù)矩陣）對點進行變換時，無論怎樣變換，變換后的都和原來的函數(shù)值有一定的關(guān)系。

可以說這就是模形式最大的特點——對稱性。

這種對稱性讓數(shù)學(xué)家們研究起來相對容易一些。

1994年，安德魯?懷爾斯和理查德?泰勒在證明費馬大定理時，建立起了模形式與橢圓曲線的聯(lián)系——「模性」。

模性揭示了模形式與橢圓曲線就像是兩個相互映照的世界。

數(shù)學(xué)家如果想探究橢圓曲線的某些性質(zhì)，可以借助模形式，先在模形式的世界中找到對應(yīng)的鏡像進行研究，再將結(jié)論帶回橢圓曲線領(lǐng)域。

朗蘭茲綱領(lǐng)期望將這種聯(lián)系拓展到更廣泛的范疇。

歷經(jīng)10年時間，4位數(shù)學(xué)家將「模性」從橢圓曲線擴展到更復(fù)雜的阿貝爾曲面。

在橢圓曲線的變量和之外再添加一個變量，就得到了一個三維空間中的彎曲曲面——阿貝爾曲面。

這種三維變量看起來似乎也應(yīng)該有某種對應(yīng)的模形式。

于是4位數(shù)學(xué)家于2016年開始合作，希望遵循泰勒和懷爾斯在橢圓曲線證明中所采取的步驟進行研究。

這時候，問題來了。

額外的變量使模形式構(gòu)造起來非常困難。

對于給定的阿貝爾曲面，建立模形式的相關(guān)數(shù)很容易計算，但構(gòu)造出來的模形式無法匹配每一個曲面。

于是，他們開始嘗試反向建立——先構(gòu)造一個模形式，它的相關(guān)數(shù)只要在“較弱”的意義上與普通阿貝爾曲面相匹配就足夠了。

這種弱聯(lián)系要求模形式的相關(guān)數(shù)只需要在時鐘算術(shù)中等效。

在數(shù)學(xué)里，時鐘算術(shù)是一種循環(huán)運算。

以我們平常使用的時鐘為例，一圈是12個小時，假設(shè)現(xiàn)在是3點，再過5小時后，不是3+5=8點，而是3+5-12=8點，這里的12就稱為“模”。

再比如，在“模7”的時鐘運算中，3點再過5小時就是3+5-7=1點。

而團隊期望的“弱聯(lián)系”只需要在“模3”的時鐘運算中將構(gòu)建的模形式的相關(guān)數(shù)與普通阿貝爾曲面的相關(guān)數(shù)匹配，就能將兩者聯(lián)系起來。

然而構(gòu)建滿足該條件的模形式又是困難重重。

后來，他們又發(fā)現(xiàn)了一組按“模2”時鐘運算易于計算的模形式，可阿貝爾曲面需要“模3”時鐘運算的結(jié)果。

于是問題又來了。

如何在兩種不同時鐘運算間建立緊密的聯(lián)系？

這個難題在2023年終于有了突破。

其中關(guān)鍵，來自中國數(shù)學(xué)家潘略之前發(fā)表的一篇論文。

潘略在2020年發(fā)布了一個模形式的證明，與四人組要論證的問題意外相關(guān)。

這項研究揭示了局部解析向量與模形式和偽同調(diào)之間的關(guān)系，為研究模形式提供了新的工具。

具體來說，潘略引入了一個微分算子（differential operator），并通過研究模曲線完備上同調(diào)中的局部解析向量，揭示了這些向量滿足特定的解析性條件。

剛好4位科學(xué)家需要構(gòu)造阿貝爾曲面對應(yīng)的模形式，潘略提出的分析方法能有效處理模形式的局部結(jié)構(gòu)。微分算子的技巧，為解決模形式的構(gòu)造問題提供了新方向。

同時，潘略給出的關(guān)于超收斂模形式經(jīng)典性的結(jié)果（即證明某些超收斂模形式實際上是經(jīng)典模形式），這也為4位科學(xué)家提供了驗證模形式聯(lián)系的重要工具。

在2023年夏天，他們就通過線上會議，開始討論如何改進潘略提出的方法。

比較有趣的是，當(dāng)時團隊為了不被外界打擾，做研究的場所選在了地下室。

整整一周時間，他們每天在地下室工作12個小時來研究潘式定理，只有在喝咖啡的時候，才來地面上透口氣。

喝完咖啡后，數(shù)學(xué)家們還自己調(diào)侃：我們要回“礦井”了。

但也是經(jīng)過這一周，數(shù)學(xué)家們差不多確定自己已經(jīng)成功了。

潘略的研究成果給四人組提供了新的思路和方法，幫助團隊跨越了從“模2”時鐘運算的模形式到適用于普通阿貝爾曲面的“模3”時鐘運算之間的關(guān)鍵障礙。

后面一年半時間里，他們將這些證明寫成了一篇長達230頁的論文，于2025年2月正式發(fā)布到arxiv上。

從影響上來看，這項新成果不僅開辟了研究阿貝爾曲面的新方向，還可能催生類似于橢圓曲線的“伯奇與斯溫納頓-戴爾猜想”（涉及阿貝爾曲面）的新數(shù)學(xué)猜想。

未來團隊將與潘略繼續(xù)合作

將近十年的成果剛剛發(fā)布不久，4位數(shù)學(xué)家已經(jīng)在推進下一步探索了。

他們將和潘略合作，嘗試將現(xiàn)在的成果擴展到非普通的阿貝爾曲面上。對于這項新計劃，他們也很自信。

如果10年后，我們還沒有找到幾乎所有的可能，那我會很驚訝的。

本次新進展一共由4位數(shù)學(xué)家?guī)恚麄兎謩e是：

• 托比·吉（Toby Gee）

• 文森特·皮洛尼（Vincent Pilloni）

• 弗蘭克·卡萊加里（Frank Calegari）

• 喬治·伯克森（George Boxer）。

托比·吉（Toby Gee）是一位英國數(shù)學(xué)家，主要研究數(shù)論和朗蘭茲綱領(lǐng)。2024年當(dāng)選為英國皇家學(xué)會會員。

文森特·皮洛尼（Vincent Pilloni）是一位法國數(shù)學(xué)家，主要研究算術(shù)幾何和朗蘭茲綱領(lǐng)。2021年獲得費馬獎。

弗蘭克·卡萊加里（Frank Calegari）是芝加哥大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，主要研究數(shù)論和朗蘭茲綱領(lǐng)。曾先后獲得1992年IMO銅牌、1993年IMO銀牌。

喬治·伯克森（George Boxer）目前在倫敦帝國學(xué)院數(shù)學(xué)系，是英國皇家學(xué)會大學(xué)研究員。

以及對本項研究產(chǎn)生重要影響的華人學(xué)者潘略。

他今年剛剛獲得了素有“諾獎風(fēng)向標(biāo)”之稱的斯隆獎。

他2009年獲得CMO銀牌，從人大附中被保送至北京大學(xué)數(shù)學(xué)系（也就是常說的“北大數(shù)院”）。不過當(dāng)年他還是參加了高考，數(shù)學(xué)成績滿分，是海淀唯一一個。

之后在普林斯頓大學(xué)完成博士學(xué)業(yè)，現(xiàn)在是普林斯頓大學(xué)助理教授。

他的主要研究方向是數(shù)論，尤其對p-adic的朗蘭茲綱領(lǐng)感興趣。

值得一提的是，和潘略同一年參加CMO并拿下金牌的陳麟，去年與幾位數(shù)學(xué)家一起完成了。

目前陳麟是清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心助理教授。

與潘略同級的幾位北大數(shù)院校友：梅松（Song Mei）、李超（Chao Li）也都獲得了2025年斯隆獎。

而朗蘭茲綱領(lǐng)還吸引著諸多中國數(shù)學(xué)學(xué)者，如北大黃金一代中的惲之瑋、張偉、袁新意、朱歆文，也正在攀登這一高峰。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2502.20645

參考鏈接：
[1]https://www.quantamagazine.org/the-core-of-fermats-last-theorem-just-got-superpowered-20250602/
[2]https://www.reddit.com/r/math/comments/1l1pttp/the_core_of_fermats_last_theorem_just_got/
[3]https://www.gaokao.com/e/20110110/4d2af5ccc0402.shtml

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