理解“存在”與“任意”——新定義“切弧點(diǎn)”

在初中數(shù)學(xué)教材中，“存在”與“任意”這兩個詞出現(xiàn)得很頻繁，通常情況下解釋，存在是指有一種情況滿足，任意是指所有情況都滿足，利用deepseek回答了一下，如下圖：

在數(shù)學(xué)描述中出現(xiàn)這兩個詞之后，思維難度一般不會低，尤其是在新定義壓軸題中，學(xué)生在充分理解新定義的基礎(chǔ)上，才會明白“存在”與“任意”在題目中的意義.

題目

解析：

01

(1)按“切弧點(diǎn)”描述作圖如下：

若弦AB確定，則劣弧AB確定，M、N為劣弧AB上兩點(diǎn)，分別過這兩點(diǎn)作圓P切線，交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q位置取決于點(diǎn)M、N的位置，而點(diǎn)M、N在劣弧AB上并不固定，因此所有可能的點(diǎn)M、N，應(yīng)對應(yīng)不同的點(diǎn)Q，而所有這些點(diǎn)Q，應(yīng)該在某個范圍內(nèi)，我們先來尋找這個范圍.

極限情況一：當(dāng)點(diǎn)M、N分別與點(diǎn)A、B重合，如下圖：

極限情況二：當(dāng)點(diǎn)M、N重合，則點(diǎn)Q也在這個重合的點(diǎn)；

因此，所有可能存在的點(diǎn)Q，應(yīng)該在線段QA、QB、劣弧AB圍成的區(qū)域內(nèi)，如下圖：

若弦AB不確定，則劣弧AB也不確定，弦AB長度的變化，會引起上述范圍大小變化，不妨多畫幾個草圖來幫助理解，如下圖：

由于弦AB非直徑，繼續(xù)增加弦AB的長度，也會有一個極限，就是直徑長度，而弦AB在圓內(nèi)的位置也不確定，當(dāng)弦AB在圓內(nèi)滑動時，這個區(qū)域就是以P為圓心，PA為內(nèi)圓半徑，PQ為外圓半徑的圓環(huán)，特別在，當(dāng)弦AB接近直徑長度的時候，這個圓環(huán)外圓會非常大，看上去似乎整個圓P外部都包括；

在作圖基礎(chǔ)上，我們再來理解“切弧點(diǎn)”，一個圓P，圓P上的弦AB，所有可能的切弧點(diǎn)Q在一個圓環(huán)內(nèi)部，圓環(huán)內(nèi)圓半徑為圓P半徑，外圓半徑為PQ，接下來我們研究外圓半徑PQ和弦長AB間的數(shù)量關(guān)系，如下圖：

不妨設(shè)PQ=R，AB=m，PA=PB=r，則PK2=BP2-BK2=r2-m2/4，由射影定理可得BP2=PK·PQ，于是r2=PK·R，以PK為中間量，我們找到了R與m、r間的關(guān)系：

這在后面的推導(dǎo)中用得上；

①根據(jù)“切弧點(diǎn)”定義，此時弦AB為定弦，則分別過點(diǎn)A、B作圓O切線，這兩條切線及弧AB所圍成的區(qū)域即所有可能存在的“切弧點(diǎn)”集合，如下圖：

因此，圓O關(guān)于AB的“切弧點(diǎn)”是P2和P3；

②我們繼續(xù)在前面概念的理解基礎(chǔ)上來看本小問，圓O仍然不變，弦AC有一個端點(diǎn)A固定，另一個端點(diǎn)C在圓O上，如下圖：

當(dāng)存在“切弧點(diǎn)”的綠色區(qū)域和直線l有公共點(diǎn)時，即點(diǎn)D在直線l上，此時直線l上存在圓O關(guān)于AC的“切弧點(diǎn)”，我們來求此時點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m，如下圖：

過點(diǎn)C作x軸的垂線，交直線l于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)F，若連接OD，得Rt△AOD，則tan∠ADO=1/2，而且∠CAF=∠ADO，可得tan∠CAF=1/2，于是AF=2CF，易證△COF∽△DCG，且相似比為1：2，因此得到CG=2OF=2|m|，其中AF=1+|m|，則CF=1/2(1+|m|)，求得FG=CF+CG=5/2|m|+1/2，可列方程5/2|m|+1/2=2，解得|m|=3/5，由點(diǎn)C在第二象限，則m=-3/5；

當(dāng)弦AC繼續(xù)增大，最大為直徑(不能等于直徑)，此時m=-1，所以可得范圍是-1

02

(2)先復(fù)習(xí)前面的“切弧點(diǎn)”概念，一個圓T，其弦長t一定滿足0

再來解讀“任意”的含義，這意味著整個△ODE應(yīng)該全部位于上述圓環(huán)內(nèi)部，但這是一個動態(tài)的圓環(huán)，最令人費(fèi)解之處正在于此.

正因?yàn)檫@是個動態(tài)的圓環(huán)，且外圓半徑趨近無窮大，因此我們很容易得到弦長t的上限，即t<2√3.

本小問的難點(diǎn)在于尋求t的下限，當(dāng)t的值小于這個下限之后，無論如何也無法保證△ODE上的任意點(diǎn)都是“切弧點(diǎn)”，這又和內(nèi)圓位置有關(guān)，我們嘗試從不同位置來探究：

第一步，確定圓心T軌跡

由于“切弧點(diǎn)”要求必須在圓外，則整個△ODE必須在圓T外部，不妨讓圓T在△ODE的邊上無滑動滾動一周，則圓心T的軌跡如下圖：

第二步，確定圓心T坐標(biāo)

我們的目標(biāo)是使“切弧點(diǎn)”所在圓環(huán)能夠完全覆蓋△ODE時，尋找最小圓環(huán)，即t值的下限；

我們分段來研究，第一段是線段AB，如下圖：

綠色為外圓，當(dāng)點(diǎn)T位于線段AB上何處時，外圓半徑最小？如下圖：

作OT⊥AB，交DE于點(diǎn)K，過點(diǎn)T作TM⊥x軸，垂足為M，△ODE為含30°的特殊直角三角形，因此OK=√3/2，而TK=√3，所以O(shè)T=3√3/2，根據(jù)前面得出的R、m、r間的關(guān)系

此時R=3√3/2，r=√3，可求出m=2√15/3；

根據(jù)這個關(guān)系等式，還可以知道r為定值，則R值越小m越小，所以我們只需要在接下來的探究中尋找出R最小值即可；

第二段是弧BC，如下圖：

要讓△ODE全部在圓環(huán)內(nèi)，則外圓需要經(jīng)過點(diǎn)O和點(diǎn)D，此時可求出外圓半徑OT，如下圖：

可知OT>TM>3>3√3/2，即在第二段上的R比第一段上的R要大，相應(yīng)的弦長m也比前一段的大；

第三段是線段CF，如下圖：

當(dāng)T落在x軸上，與點(diǎn)F重合時，外圓半徑最小，此時DT=1+√3，即R=1+√3，且1+√3>3√3/2，即第三段上的R也比第一段上的R要大，相應(yīng)的弦長m也比第一段的大；

第四段是弧FG，如下圖：

當(dāng)外圓經(jīng)過D、E時，外圓半徑最小，可連接DT，OT，過點(diǎn)T向x軸作垂線構(gòu)造直角三角形來求DT的長，如下圖：

圖中Rt△MNT為含30°角的直角三角形，設(shè)NT=n，則MN=√3n，MT=2n，于是在Rt△ONT中，ON=1+√3n，由勾股定理可得2n2+√3n-1=0，解得n=(√11-√3)/4，再在Rt△DNT中利用勾股定理求DT的長，結(jié)果大于第一段中的R；

第五段是線段GH，如下圖：

顯然此時外圓半徑最小為2√3，大于第一段中的R；

第六段是弧AH，如下圖：

顯然此時外圓半徑仍然大于第一段中的R；

綜上所述，當(dāng)圓T在△ODE外部無滑動滾動一周之后，圓環(huán)的外圓半徑有一個最小值，即第一段中的m=2√15/3，只要這個最小值存在，我們就能滿足題目條件“△ODE上任意一點(diǎn)”都存在這樣一條弦，滿足“切弧點(diǎn)”的定義，所以2√15/3

解題思考

這道題學(xué)生感到困難之處，就是最后一問，圓T位置無法確定，甚至不會去尋找圓T，這需要我們理解新定義中“切弧點(diǎn)”描述中，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，由此啟發(fā)，這個點(diǎn)一定在圓外部，再結(jié)合△ODE上任意一點(diǎn)，理解為一個圓在△ODE外部(或者說△ODE在圓T外部)，且在其邊上無滑動滾動一周，在滾動過程中圓T都有可能找到“切弧點(diǎn)”，而我們只要找到一處，即滿足“存在”；

學(xué)生在真實(shí)答題過程中，并不需要去計(jì)算每一個分段中外圓半徑R的大小，只要估算出最小的那種情況，再計(jì)算結(jié)果，這對學(xué)生的估算能力提出了一定要求，同時對幾何中圓的相關(guān)概念理解要深刻，例如圓內(nèi)的弦，同一個圓內(nèi)長度相同的弦有無數(shù)條，經(jīng)過圓外一點(diǎn)可以作兩條切線等.

對于“切弧點(diǎn)”所在的圓環(huán)，有一點(diǎn)要清楚，這個圓環(huán)的內(nèi)圓是固定的，外圓半徑是不斷變化的，即一個外圓不穩(wěn)定的圓環(huán)，這就帶來一個副作用，不確定性，學(xué)生沒辦法通過作圖去畫一個真實(shí)的圓在草稿紙上探究，只能通過想像.而這個圓環(huán)的外圓半徑是存在一個最小值的，尋找這個最小值，我們需要將圓環(huán)盡可能“貼近”并“包容”△DOE，簡單說，就是找一個盡可能小的圓環(huán)，靠在△ODE上，而且把整個三角形包裹進(jìn)去.在這個過程中，包裹住整個三角形的圓環(huán)需要作圖驗(yàn)證，并在驗(yàn)證的基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算.每一處圓環(huán)位置，都對應(yīng)一個相應(yīng)的弦長值.

就難度而言，本題難度較高，主要是思維難度，當(dāng)然在計(jì)算上也存在一定要求，這和近年來高考數(shù)學(xué)難度變化的趨勢是相同的，作為壓軸題，本來也應(yīng)該具備一定難度以保證區(qū)分.

任何一個數(shù)學(xué)概念，是對現(xiàn)實(shí)事物的抽象描述，將真實(shí)情景中的事物用數(shù)學(xué)眼光掃描，得出若干數(shù)學(xué)元素，其中最基礎(chǔ)的，就是數(shù)學(xué)概念，在概念的基礎(chǔ)上，我們可以搭建出一個認(rèn)知體系，這個體系可以對應(yīng)現(xiàn)實(shí)世界中的任何事物，這就建立了數(shù)學(xué)與真實(shí)情景間的關(guān)系.

也就回到了課標(biāo)上的“三會”.