一、題目

如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，點E在邊AB上，AE=3，連接CE，且∠DCE=∠BCE，點F在BC的延長線上，連接DF.若DF=DC，則線段CF的長為________.

二、分析與解答

由等腰想到三線合一，作底邊上的垂線.

由角平分線想到垂兩邊、平行平分構等腰.

由AE:BE=3:5想到相似、平行線分線段成比例.

另外還有一個隱藏的二倍角：

設∠BEC=α，則∠BCE=90°-α，∠BCD=180°-2α，∠DCF=2α

tanα是已知的，求出tan2α就可以求出CF的一半.

這道題的方法很多，以下是部分輔助線作法：

其中圖一、二、三、四、五、八、十、十一都用到了平行平分構等腰，圖一~圖五和圖十中，△HEC為等腰三角形，其中HE=HC.圖八和圖十一中，△DCH為等腰三角形，其中圖八中DH=DC，圖十一中CD=CH.

下面挑選圖一、圖九、圖十三種方法做一下講解.

解法一：過點D作DG⊥CF于點G，過點E作EH//BC，交DC于點H，過點E作EI⊥DC于點I

AE=3，BE=IE=5，BC=IC=4

易證EH=CH，設IH=x，則EH=CH=x+4

在RT△EIH中，由勾股定理，得

x^2+5^2=(x+4)^2 解得 x=9/8

由△EIH∽△DGC，可得CG=9/5

∴CF=2CG=18/5

解法二：過點D作DG⊥CF于點G，在BE上取點H，使EH=CH，連接CH.

則∠BHC=2∠BEC=∠DCG

設BH=x，則EH=CH=5-x

在RT△BCH中，由勾股定理，得

x^2+5^2=(x+4)^2 解得 x=9/8

∴tan∠BHC=40/9=tan∠DCG

∴CG=8×9/40=9/5，CF=18/5

解法三：過點D作DG⊥CF于點G，過點E作EH//DC，交CB延長線于點H

易證EH=CH，設BH=x，則EH=CH=x+4

在RT△BEH中，由勾股定理，得

x^2+5^2=(x+4)^2 解得 x=9/8

tan∠EHB=40/9=tan∠DCG

∴CG=8×9/40=9/5，CF=18/5

三、小結

1、常見輔助線：等腰三角形，三線合一（常作底邊垂線），角平分線垂兩邊、平行平分構等腰，構造相似也常作平行線.

2、本題中的二倍角是隱含條件，如果能發現二倍角，且會用幾何法求二倍角，無疑會大大降低思考難度.

3、計算能力要過關.本題中有幾種方法是在RT△DCG中運用勾股定理，得方程

x^2+8^2=(x+32/5)^2

部分同學在計算這個方程時可能會遇到問題，有的解不出，有的則耗時較長.