一、模型結(jié)論

1、和角結(jié)論：正切值是1/2的銳角和正切值是1/3的銳角的和是45°.

符號表示：

α、β都是銳角，則

圖形表示：

2、倍角結(jié)論：

①如果一個銳角的正切值是1/2，那么它的二倍角的正切值是4/3

②如果一個銳角的正切值是1/3，那么它的二倍角的正切值是3/4

③如果一個銳角的正切值是4/3，那么它的半角的正切值是1/2

④如果一個銳角的正切值是3/4，那么它的半角的正切值是1/3

⑤如果一個銳角的正切值是2，那么它的半角的正切值是(√5-1)/2

圖形表示：

如圖，在RT△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5

AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，DF平分∠ADB

tan∠BCE=1/3，tan∠BAD=1/2，tan∠BDF=(√5-1)/2

該圖也可表示和角結(jié)論：tan∠CAG=1/2，tan∠ACG=1/3，∠CGD=45°.

之所以叫12345模型就是因為這個模型與12345這幾個數(shù)字密切相關(guān).

二、模型證明

1、和角結(jié)論

原命題等價于45°減去正切值是1/2的銳角等于正切值是1/3的銳角.

過點D作DE⊥AC于點E

設(shè)AB=BC=2m，則AC=2√2m，BD=CD=m

CE=DE=√2m/2，AE=3√2m/2

∴tanβ=1/3

2、倍角結(jié)論

以①③為例

①如果一個銳角的正切值是1/2，那么它的二倍角的正切值是4/3

在AB上取點D，使AD=CD，連接CD，則∠BDC=2α

證明：設(shè)BC=m，BD=x，則AB=2m，AD=CD=2m-x

在RT△BCD中，由勾股定理，得

x^2+m^2=(2m-x)^2 解得 x=3m/4

∴tan2α=m/(3m/4)=4/3

③如果一個銳角的正切值是4/3，那么它的半角的正切值是1/2

如圖，在RT△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，AB=3，BC=4

求證tan∠DAB=1/2

證明：過點D作DE⊥AC于點E

由勾股定理，得 AC=√(3^2+4^2)=5

易證△BAD≌△EAD(AAS)

∴AB=AE，DB=DE

設(shè)DB=DE=x，則CD=4-x，CE=2

在RT△CDE中，由勾股定理，得

x^2+2^2=(4-x)^2 解得x=3/2

∴BD=3/2，tan∠DAB=1/2

②④⑤都可以用類似的方法證明

三、模型應(yīng)用

過點H作HI⊥DG于點I，HJ⊥AD于點J，HK⊥AG于點K

∠EDH=45°，tan∠EDF=1/2

由12345模型，知 tan∠HDG=1/3，tan∠ADG=3/4

∴AG=3/2，DG=5/2

∵H是角平分線交點 ∴HJ=HK=HI

∴S△AGH:S△ADH:S△DGH=3:4:5

∴S△DGH=5/(3+4+5)S△ADG=5/12×1/2×3/2×2=5/8

四、小結(jié)

1、該模型主要用于選擇、填空題，對于符合模型的題，12345模型往往會比較快捷，有的題目雖然未必快捷但卻可以提供一個額外的解題方向.

2、中考模擬考中，凡是能用12345模型解的題，必然能用課內(nèi)知識來解.

3、12345模型沒有某些“網(wǎng)紅博主”宣傳的那么神奇，也不像某些博主唱衰的那樣“模型無用”，對于學(xué)有余力的同學(xué)建議學(xué)習(xí)，技多不壓身，學(xué)習(xí)一般的同學(xué)則要量力而行.