山西
一、題目
如圖，已知在RT△ABC中，AB=AC，∠CAB=90°，將正方形ADEF如圖所示放置，點E恰好落在AB上，連接BF、CD，M是BF的中點，連接AM交CD于點N.試判斷CD與AM之間的關系，并說明理由.
二、分析
線段間的關系分兩種：數量關系與位置關系，容易猜測CD與AM的數量關系為：CD=2AM或AM=1/2CD，位置關系為：AM⊥CD.
AM與CD的數量關系不易直接證明，需添加輔助線，有兩種思考方向：①截長補短證全等；②構造手拉手模型轉化線段.
這里只介紹第②種方法.之所以會想到手拉手模型，是因為△CAB和△FAD都是等腰直角三角形，但又有所不同，因為點C是△CAB的右手，點B是△FAD的左手，不符合手拉手模型的“左手拉左手，右手拉右手”，這種情況可稱之為“反向手拉手”，處理方法為作對稱轉化為手拉手模型，然后按手拉手模型求解.
三、解答
AM=1/2CD，AM⊥CD.理由如下：
以AD為邊在AD下方作正方形ADE'F'，連接BF'
①加減公共角證△CAD≌△BAF'
∵四邊形ADE'F'為正方形
∴∠DAF'=90°=∠CAB，AD=AF'
∴∠DAF'+∠DAB=∠CAB+∠DAB
即∠BAF'=∠CAD
又∵AC=AB
∴△CAD≌△BAF'(SAS)
∴CD=BF'
②中位線證AM=1/2BF'
∵AF=AF'，FM=MB
∴AM//BF'，AM=1/2BF'=1/2CD
③8字模型證夾角
∵△CAD≌△BAF'
∴∠1=∠2
又∵∠3=∠4
∴∠OAF'=∠OGD=90°
又∵AM//BF'
∴∠AND=90°
∴AM⊥CD
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