新定義“伴隨切點”

2024年海淀區九年級數學期末第28題

解新定義類的壓軸題，花費時間最多的環節是理解新定義，盡管在第1小題中會比較簡單，但仍然不是一眼能看出答案，或者說在那一眼之前，得讀懂新定義。

2024年北京海淀區九年級數學期末第28題，相對而言比較容易理解，但也存在一些小坑，如果平時數學概念的學習方法上存在漏洞，那這道題一定可以檢測出來，數學理解能力強弱，本題區分很明顯。

題目

在平面直角坐標系xOy中，將中心為T的正方形記作正方形T，對于正方形T的點P(不與O重合)給出如下定義：若正方形T的邊上存在點Q，使得直線OP與以TQ為半徑的圓T相切于點P，則稱點P為正方形T的“伴隨切點”.

(1)如圖，正方形T的頂點分別是O，A(2,2)，B(4,0)，C(2,-2).

①在點P1(2,1)，P2(1,1)，P3(1,-1)中，正方形T的“伴隨切點”是__________________；

②若直線y=x+b上存在正方形T的“伴隨切點”，求b的取值范圍；

(2)已知點T(t,t+1)，正方形T的邊長為2，若存在正方形T的兩個“伴隨切點”M，N，使得△OMN為等邊三角形，直接寫出t的取值范圍.

解析：

01

(1)磨刀不誤砍柴工，我們首先來理解“伴隨切點”：

從概念切點開始，它出現于直線與圓的位置關系，題目中的圓T，圓心在T，半徑為TQ，點T是正方形的中心，即兩條對角線交點，而正方形某條邊上的點，到中心T的距離有一個變化范圍，TQ最長時，等于正方形對角線長度的一半，最短時，等于邊長的一半，這與點Q在正方形哪條邊上無關。

我們在坐標系中任意作正方形T，包括其邊上的點Q，再作圓T，讓點O在圓T外，再過點O作它的兩條切線，如下圖：

在上圖中，圓T的位于取決于點T的坐標，大小取決于TQ的長度，顯然半徑有限制，如果設正方形邊長為a，則半徑長度范圍是a/2≤TQ≤√2a/2；

由于點O在圓T外，因此一定會存在兩條切線，即圖中有兩個點P均滿足新定義，我們連接圓心和切點，會發現∠OPT=90°；

這是本題新定義的兩個核心要素，理解了它們，再去看第1小題，就簡單多了。

①圖中點T坐標為(2,0)，只有點P2和P3符合要求，如下圖：

此時圓T的半徑為1，OA和OC恰好是它的兩條切線，切點為P2和P3；

②所有符合新定義的圓T，如下圖：

半徑最大的圓是正方形T的外接圓，半徑最小的圓是它的內切圓；在此基礎上，我們來找符合新定義的切點P，正如前面分析中所說，點P保證了∠OPT=90°，因此點P在以OT為直徑的圓上，利用了直徑所對的圓周角是直角，如下圖：

我們得到了點P可能的位置，即在圓環內部，且在以OT為直徑的圓上，圖中紅色部分的弧(半圓)。

現在我們再引入直線y=x+b，圖中直線OA的解析式為y=x，所以y=x+b平行于直線OA，它與上圖中的紅色部分的弧的公共點，即我們所尋求的點P，而我們需要從這些滿足條件的直線中，找到參數b的范圍，從幾何直觀角度，直線y=x+b從上往下運動，第一次接觸到紅色部分的弧時，b值最大，最后脫離紅色部分的弧時，b值最小，如下圖：

我們作出這兩條直線，分別求解，如下圖：

直線y=x+b與紅色部分的弧(圓D)相切時，點P是切點，連接 DP，則圖中△DPE為等腰直角三角形，因為D點是OT中點，所以DP=OD=1，則DE=√2，故OE=√2-1，將點E坐標代入直線y=x+b，可求出b=√2-1；

當直線y=x+b經過最下方的P點時，如下圖：

此時點P為OC中點，坐標為(1,-1)，代入直線y=x+b中，求出b=-2；

因此b的取值范圍為-2≤b≤√2-1；

02

(2)給出含參點T坐標，意味著點T在直線y=x+1上，正方形T的邊長為2，可得圓T的半徑TQ范圍為1≤TQ≤√2；根據“伴隨切點”新定義，點P為圓T上的切點，則∠OPT=90°始終滿足，于是作草圖如下：

圖中的點T是任意一處位置，存在的兩個“伴隨切點”之一的點M，在弧GH上，另一個點N在弧KL上，顯然這兩段弧關于OT軸對稱，在此基礎上，我們作出點M和N的大致位置，如下圖：

分析上圖，我們已知弧GH與弧KL關于OT軸對稱，若存在等邊△OMN，則點M與點N也一定關于OT軸對稱，這是等邊三角形的軸對稱性和圓的軸對稱性共同決定的，在圓內接正多邊形章節中我們學習過。

所以我們只需要觀察其中一個頂點，例如點M，當它在弧GH上時，符合條件的t存在一個范圍，當點M與點G重合，或與點H重合，如下圖：

連接MT，此時TM=√2，在Rt△OMT中，∠MOT=30°，則可求得OT=2√2，利用點T坐標(t,t+1)，可列方程t2+(t+1)2=(2√2)2，解得t=(-1±√15)/2，此時取正值；

當點M與點H重合時，如下圖：

此時TM=1，則OT=2，同樣可列方程t2+(t+1)2=22，解得t=(-1±√7)/2，此時取正值；

取負值的時候如下圖：

綜上所述，t的取值范圍是(-1+√15)/2≤t≤(-1+√7)/2，(-1-√15)/2≤t≤(-1-√7)/2.

解題反思

往往面對新定義壓軸題，學生解完后會出現涇渭分明的兩種結局，一種是認為太過簡單，另一種則沒看懂(半懂也屬于沒看懂)，這其實是對學生數學理解能力的一種有效區分，數學概念的生成不是一朝一夕的事，它需要學生在長期數學學習過程中培養，良好的學習習慣、思維習慣最終積累起來，就會達到“認為簡單”的境界，如若這個過程中存在漏洞，這種題型很容易讓學生原形畢露。

本題中的圓非常多，其中圓T是動圓，半徑有范圍限制，在實際作圖中，理解為圓環，而切線OP上，點P也是動點，它的軌跡也在以OT為直徑的圓上，雖然涉及到多個圓，但它們之間有明顯的關聯，解題時理清這些關系非常重要。

試題難度與區分度，是衡量試題質量的重要統計指標，控制難度有很多種方法，本題并不算特別難，新定義的描述部分理解起來比較容易，只要平時嚴格按課標、教材要求去理解數學概念，解這一類題型就是常規思路。

相對另一些“難題”，把難度設置在某條特殊輔助線或某個特殊公式甚至少見的技巧之上，這就變成了記憶題，只要記得老師講過或者記得部分內容，甚至連推導都不用，方法就能完整復刻，它們就屬于我們口誅筆伐的“偏難怪題”，不提倡。

從日常教學角度來看，學生學習理解數學概念，是整個初中階段都要經歷的，未來這種經歷會更多，更復雜，但再復雜的概念，理解它們的方法在初中階段應該教給學生，例如本題中點P的軌跡，正常情況下，突破口在切線定義上，當點P為切點，則TP與OP必然垂直，由垂直聯想到∠OPT=90°，這還不夠，得進一步想到Rt△OPT中，斜邊OT是定長，斜邊上的中線等于斜邊的一半，則O、P、T在同一個圓上，這就和教材上直徑所對的圓周角是直角對應上了，當然，這個過程在大腦思維中非常快，外表上看，理解了的學生一眼就能看出點P在以OT為直徑的圓上，其實背后仍然有上述思考經歷，只不過速度快得可以忽略。

當我們在給學生講新定義題型的時候，也會注意到，兩極分化會很嚴重，少數學生一經提示甚至不經提示，也能理解，多數學生需要老師一步步引導，再經過較長時間回味才能理解，恰恰他們是整個課堂中受益最大的群體，因此作為數學老師，要重視這部分學生群體的思維歷程，扶著他們一遍遍走過，直到放手。

這又回到了我們的課堂，從七年級第一節數學課開始，我們需要規范教學中對數學概念的設計，用豐富的情景去容納概念，多視角去呈現概念，簡單概念“復雜”講，最終才會成就復雜概念“簡單”講，讓學生在課堂上的收益最大化。