由中點想到

2024年秋海淀區九年級數學第27題

記得在張欽博士工作研題系列視頻中，不止一位教師在教學思考中提到了中點的相關解題方法，誠然，在初中幾何綜合題里，題目一旦給出了中點條件，那么涉及到的知識點關聯就比較廣泛了，例如三角形的中線、線段的垂直平分線、直角三角形斜邊上的中線、三角形中位線、平行四邊形對角線互相平分、垂徑定理等。

學生在思考解決問題的方法時，需要根據題目條件去聯想所需定理，然后在腦子里尋找它們之間的關系，在錯綜復雜的網絡結構中尋找出一條解題之道。

題目

在△ABC中，AD⊥BC，AD+CD=1/2BC，將線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，連接DE.

(1)如圖1，當AD=DC=1時，補全圖形，并求DE的長；

(2)如圖2，取AE的中點F，連接DF，用等式表示線段DF與AC的數量關系，并證明.

解析：

01

(1)AD=DC=1，再加上AD⊥BC，顯然△ADC是一個等腰直角三角形，然后針對條件AD+CD=1/2BC的解讀很關鍵，不妨將AD也放在BC上觀察，截取DG=AD，由AD+CD=1/2BC可得DG+CD=1/2BC，即CG=1/2BC，說明點G是BC中點，再連接AG，CE，如下圖：

先判斷△ACG是一個等腰直角三角形，結合AB旋轉90°后得到AE，因此可證明△ABG≌△AEC；

由AD=DC=1，可進一步得到DG=1，而BC=4，BG=2，由全等可知CE=2，因此在Rt△DCE中，由勾股定理求出DE=√5；

02

(2)作圖如下：

一般在給學生講題的時候，若有輔助線，則應分析輔助線是如何想到的，而不是一上來就給出輔助線去講解，本題需要學生作圖，因此上圖就是學生按題目條件作圖之后的結果，我們借此來分析如何尋找DF與AC的數量關系；

我們將前一問中的部分特殊點畫出來，例如BC中點G，這樣我們可得到一個等腰Rt△ADG，其中DF與其直角邊AD構成了一個三角形，對△ADF，將其繞點D逆時針旋轉90°后，邊AD落在邊GD上，那DF會落在何處？

再來看Rt△ACD，取其斜邊上的中點H，連接DH，如下圖：

觀察△DGH和△DAF，我們來證明它們全等：

第一個條件是GD=AD，第二個條件來找相等的邊，由G、H分別是BC，AC邊上中線，所以GH是△ABC中位線，故GH=1/2AB，而點F是AE中點，則AF=1/2AE，而AB=AE，所以GH=AF；第三個條件來找夾角，由中位線可知GH∥AB，所以∠DGH=∠B，而∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAF=90°，所以∠DGH=∠DAF；

故△DGH≌△DAF，得到DF=DH，在Rt△ACD中，DH是斜邊上中線，所以DH=1/2AC，所以DF=1/2AC.

解題思考

學生在思考這道題的時候，也有通過觀察猜測DF=1/2AC的，不過接下來的路就分成了兩條，一條是取AC中點，順利抵達終點，另一條是倍長DF，如下圖：

這一路并不好走，倍長DF至點H后，需要證明DH=AC，學生也的確構造出了這么一對三角形，△ACD和△DHM，但在尋找全等條件時卡頓了；

因此我們在思考一道題的證明思路時，突破口非常關鍵，雖然類似這樣的問題，截長或補短都是可行的，但限于題目條件，可能有的路并不容易，所以需要預判自已思路接下來會如何走，如同下棋一樣，往后多看幾步，思考得越多，解題時走的彎路就越少。