數論是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。而整數的基本元素是素數（也稱質數），所以數論的本質是對素數性質的研究。數論被高斯譽為“數學中的皇冠”。

哥德巴赫猜想、孿生素數猜想、斐波那契數列、黎曼猜想，無比引領著數學大師們前仆后繼的去探索。

《證明的故事：從勾股定理到現代數學》

作者：[澳] 約翰·史迪威（John Stillwell）

譯者：程曉亮 張浩

自然數 0, 1, 2, 3, 4, …是最基本的數學對象，在某種程度上每個人都能理解。它們也是數學中最古老的未解之謎的主題。例如，是否存在奇完全數？是否存在無窮多對孿生素數？然而，直到最近，數論還經常被揶揄為“各種伎倆”，對大多數數學家來說，數論沒有什么用處，也無法引起他們的興趣。

近幾十年來，當世界變得數字化，數字成為其命脈，需要加密的保護，而這最終依賴于數論時，人們的態度發生了改變。所以當今的問題不是為數論辯解，而是理解它。

正如我們將在本章看到的，數論很難，因為它的證明方法幾乎涉及數學的所有領域，包括幾何、代數、微積分，還有一些我們還沒有討論過的領域，比如拓撲學。這是令人驚訝的，因為數論有極其簡單的要素：0、把一個自然數帶到下一個自然數的后繼函數，以及歸納法原理——從本質上說，所有的自然數都源于 0，它們是通過反復對 0 應用后繼函數得到的。

事實上，簡單的要素也可以創造出極端的復雜性，這就是為什么所有的數學資源都被用于助力數論。在本章中，我們將討論幾何、代數和微積分對數論中的證明的影響，以及反過來的情況，特別是針對代數的情況。之后，當談到證明本身的數學研究時，我們將看到是什么使數論如此復雜。

01

數論中的幾何與微積分

我們現在已經看到如何通過單位圓上的有理點來理解勾股數組，反過來又通過有理函數

得到圓的參數化。此外，我們已經看到這些方程給出了一個變量替換，可以使關于 x 和的有理函數的積分有理化。

了解圓函數參數化圓的讀者或許想知道它與這個故事的關系。答案是參數t 和 θ 通過等式聯系起來。這可以從用于得到方程（*）的直線和圓的圖中看出，見圖 7.3。

一方面，我們知道

另一方面，根據正弦和余弦的定義，

那么，根據基本的幾何（等腰三角形、三角形的內角和為 π ），我們發現角 OPR 為。因此，紅色直線的斜率 t 是 tan 。

雖然有理函數通常比超越函數（如正弦函數和余弦函數）更受歡迎，但當我們遇到無法由有理函數參數化的曲線（如）時，后者是參數化的更好選擇。為了了解如何處理這些曲線，我們回顧一下圓和圓函數在微積分中的作用。

02

圓和其他曲線的微積分

如果是一條形如的曲線，這里的是一個多項式，那么有一個令人驚訝的簡單方法可以找到的參數化函數對。此外，如果，那么（f 的導數）。其想法是考慮積分

這樣做之后，顯然有，而且有

對于單位圓的情況，多項式，定義函數的積分是

通過替換，很容易看到這個積分是，所以，于是。最后，，于是我們得到參數化

這與由圓函數給出的通常的參數化是相同的，只不過 x 和 y 進行了對換。

03

橢圓函數和橢圓曲線

上述參數化曲線的方法只能得到我們已知的圓的參數化。該方法為曲線提供了一些新的想法。我們知道這條曲線不存在有理函數參數化，所以函數和可能是有趣的。

事實上，積分是一個橢圓積分，正如第 6.9 節所提及的，函數和被稱為橢圓函數。事后來看，研究函數而不是其逆（積分）似乎是個好主意，因為研究正弦函數顯然比研究反正弦積分更容易。

然而，第一個關注橢圓函數而不是橢圓積分的數學家是高斯（大約在 1800 年，未發表），這是在法尼亞諾（Fagnano 1718）和歐拉（Euler，1751 年第一次看到法尼亞諾的成果）費力地得到橢圓積分的一些性質之后才發生的。橢圓函數的思想直到 19 世紀 20年代才被發表，當時被阿貝爾（Abel）和雅可比（Jacobi）重新發現。

高斯發現積分

的反函數與正弦函數非常相似，以至于他稱其為雙紐線正弦函數。特別是，雙紐線正弦函數具有周期性：對于某個最小的數，有高斯之所以選擇字母 ，是因為它是希臘字母 的變體。不僅如此，如果我們允許 u 是復數，那么 sl 有第二個周期。我們知道，對于代數曲線，允許 x 和 y 為復數是很自然的。

這種雙周期性也適用于其他橢圓函數（但不適用于正弦函數和余弦函數，即使當我們允許它們為復變量時，它們仍然保持單周期）。這導致了對它們參數化的曲線的全新解釋，稱為橢圓曲線。

例如，下面展示了如何用笛卡兒方程來看待曲線。具有參數方程

所以上的每一點 P 都由參數 u 的值確定。但是，對任意整數 m 和 n，由于（和）的周期性（具有相同周期），參數值確定的是相同的點。

這樣， 上的每一點 P 對應于復平面中的一個點集

我們可以從頂點為的正方形中選擇每個點集的一個代表元，在這種情況下，除了邊界上的點外，每個點 P 在正方形中只有一個代表元。左右兩邊的點表示上的同一點，上下兩邊的點也表示上的同一點，因此，所有四個頂點都表示同一點。在圖 7.4 中，左圖的正方形是灰色的，左邊和右邊是藍色，上邊和下邊是紅色。

粗略地說（或從拓撲上講），復曲線是將正方形的同色邊粘貼的結果，也就是所謂的環面。因此，尋找曲線上有理點的過程不僅涉及幾何學和微積分，而且涉及拓撲學。

《證明的故事：從勾股定理到現代數學》

作者：[澳] 約翰·史迪威（John Stillwell）

譯者：程曉亮 張浩

數學史泰斗、舊金山大學榮休教授，“肖夫內獎”獲得者，當今世界最有影響力的數學家之一約翰·史迪威全新力作！

證明是數學思想中十分重要且極具開拓性的特征之一。沒有證明，就沒有真正的數學！

本書從古希臘幾何學時代講起，涵蓋代數、微積分、集合、數論、拓撲、邏輯等幾乎全部數學分支中的證明故事，講述了證明的演變及其在數學中的重要作用和啟發意義。我們將看到歐幾里得、康托爾、哥德爾、圖靈等數學大師的精彩發現和發明。

本書不是教材，而是在講數學的歷史，更是在講數學思想的演變。