有讀者微信問我，按照旋輪線的特點，無論離最低點多遠的點，回到最低點的時間都一樣，既然這樣，若一質點離最低點足夠遠時，它回到最低點處時，其速度不是會超光速嗎？

表面看，這似乎挺有道理的。

假設有一點離最低點的弧線長度為 ，它的平均速度為 ，考慮一點離最低點的弧線長為 ，其速度為 ，根據旋輪線的等時性有

假設 ，設 ，其中 是光速的數值，則可得

這不就超光速了嘛！

但是，仔細想，這可能嗎？

旋輪線之所以具有等時性，是假定重力加速度 在旋輪線的一個周期的范圍內是均勻的，即沿著一個方向（豎直斜向下）且大小一致。

但實際上，如果空間范圍太大， 的方向和大小都不統一！

要知道地球是一個球體，它的半徑也才大約6400公里。在地表上每走大約4萬公里，重力的方向旋轉了360度！

可見，所謂旋輪線的等時性，具有空間局域性。換句話說，等時性只在地球上任意點成立，在一個有大小的空間范圍內，它并不嚴格成立。

假設你跑到一個巨大的天體（例如木星）表面上，由于它的半徑如此之大，所以比地球上大得多空間范圍內，旋輪線的等時性保持近似成立。

但無論這個范圍多大，都不會導致超光速運動。

因為狹義相對論告訴我們，任何有質量的物體，無論怎么加速，也無論加速多長時間，其運動速度都不會達到光速。

總之，旋輪線的等時性是局域性的，它不可能在大的空間范圍內成立。

其實，只要與相關的運動規律，都具有局域性。

典型的如拋體運動(訂正：下式中dt應改為tdt）

只有當 處處都豎直向下時且大小不變時，上式才能寫成

這才能得到拋物線方程，即（訂正：下式中第二項的分母有誤，應為2v?2cos2θ）

如果一個物體被拋射后在地球上空飛了好幾百公里，它跨過的空間中， 發生了明顯的變化，你就不能再像上面那樣推出它的軌跡是拋物線了！

可見，地球上的拋物線嚴格講也是局域的！換句話說，只有在一個點上，拋體運動的軌跡才是所謂拋物線。

是不是覺得有點懵？

實際上，你可以這樣想，拋物線是一種無界曲線，如果你拋出一根粉筆真的是做無界的拋物線運動，那它豈不是能輕松逃離地球嗎？

當然，你會反駁說：不會啊，地面把它擋住了，不能往下繼續落下去啊！

沒錯，的確是地面擋住了！

但問題是，要不是地面擋住了，哪怕你用最小的速度拋出，它都能飛離地球？

當然不是。

根據萬有引力定律，只有當滿足

時，物體才會逃離地球。滿足此條件的速度 就是第二宇宙速度，即

算出來大約是11.2km/s。

當拋體的初速度達不到這個速度時，它只能永遠受地球的束縛，換句話說，它的運動永遠是有界的，也就是周期性的。

大家想想，我們學過什么曲線是有界的？

圓嗎？差不多對！但嚴格說是——橢圓！

沒錯，其實我們拋出的任何物體，如果不考慮空間的局域性，嚴格來講，它的軌跡是橢圓的一部分，只是它們的長軸非常長，部分曲線與拋物線幾乎是一致的，一般就當作拋物線。

想象這樣一個思想實驗——

假設你拋出的物體能像土行孫那樣，輕松從地球中穿過，那么，在它墜入地球之后，它將沿著一個超級狹長的橢圓飛行，直到最后，又從你旁邊的地下飛了上來！

所以，發射地球衛星最大的障礙不是地球的引力，而是地面的阻擋！

如果沒有地面的阻擋，任何人分分鐘都可以發射一顆衛星，比在池塘上打水漂都容易一萬倍。

更進一步，不光是與 有關的運動規律具有局域性，只要運動本身是有界的，它滿足的規律必然只能在一定的范圍內有效。

例如彈簧振子的振動方程為

這是一種局域運動。它的周期是

它的速度為

它在平衡位置處的速度為

若振幅 很大很大，這個 豈不是也會超光速？

答案是：不會！

中學物理學過，彈簧串聯時，倔強總倔強系數滿足

隨著彈簧不斷伸長，倔強系數越來越小，當 時，周期 ，所以平衡位置處的速度不會一直增加。

可見，彈簧振子只是一個局域的物理模型，放大它的規模，可能會導致其規律失效。

實際上，所有的物理規律，幾乎都受到局域性約束。因為本質上，任何物理規律本來就只是被定義在時空點上的，這是物理學的幾何和數學基礎決定的。

典型的，慣性系必須是一個局域的空間中的參考系，所以物體的速度只在局域空間中才受到光速限制。對于超大尺度的空間，例如星系團這樣大的空間，由于宇宙的膨脹，星系彼此遠離速度遠遠大于光速。

另外，自然界中有些現象或規律滿足所謂標度不變性，即放大尺寸后，依然保持一致，但即使這樣，并不代表該系統涉及的所有的規律都保持一致。

最后，需要指出的是，量子糾纏證明，量子系統具有非局域性，但此非局域與本文討論的含義不同，有興趣的可自行閱讀相關文獻。

本文轉載自《物含妙理》微信公眾號

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