在無限的森林里，存在太多超出我們直覺的、奇妙的，甚至自相矛盾的實(shí)物。那是因?yàn)槲覀儽旧砭褪怯邢薜拇嬖冢赃€不習(xí)慣用直覺去理解無限的事物。對于有限的我們來說，需要借助數(shù)學(xué)的語言來正確理解無限。

著名理論物理學(xué)家大栗博司先生寫給女兒的數(shù)學(xué)啟蒙書，就幫助我們理解許許多多的數(shù)學(xué)概念。

書中以用“數(shù)學(xué)語言”解讀自然為線索，突破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育的順序和教學(xué)方式，用歷史事件、生動故事以及比喻直接講解數(shù)學(xué)核心概念的原理與相關(guān)體系，并且講解了把數(shù)學(xué)作為一門“語言”、用數(shù)學(xué)探索自然不可見結(jié)構(gòu)的思維方式，是重新認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)的科普佳作。

來源 | 《用數(shù)學(xué)的語言看世界（增訂版）》

作者：[日] 大栗博司

譯者：尤斌斌

01

康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)

我們的腦細(xì)胞是有限的，生存時間是有限的，按理說本來只能思考有限的事物。但是，我們卻能在數(shù)學(xué)中討論無限。其中一位先驅(qū)者就是 19 世紀(jì)德國的數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾。康托爾發(fā)明了我們在學(xué)校曾經(jīng)學(xué)過的“集合”概念，還提出了比較集合大小的方法。如果集合的要素（即元素）的數(shù)量是有限的，那么只要數(shù)清楚元素的數(shù)量，就能比較集合的大小。不過，如果集合的元素是無限的，該怎么比較呢？

康托爾認(rèn)為，只要將 2 個集合中的元素一一對應(yīng)，就能發(fā)現(xiàn) 2 個集合的大小相同。如果是有限集合，只有元素數(shù)量相等，才能做到一一對應(yīng)。這同樣也能運(yùn)用于無限集合中。

例如，自然數(shù)集合和偶數(shù)集合之間也存在一一對應(yīng)。如下所示：

只要像這樣對應(yīng)即可。也就是說，讓自然數(shù) n 與偶數(shù) 2 × n 相對應(yīng)。之前說過加州旅館客滿時，讓已入住的客人全部搬到偶數(shù)房間，這個時候使用的就是上述對應(yīng)。

而且，自然數(shù)集合和分?jǐn)?shù)集合之間也存在一一對應(yīng)。該對應(yīng)出現(xiàn)在給有理數(shù)旅行團(tuán)的客人們發(fā)放自然數(shù)的號碼牌時。雖然這個過程中會出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象，不過只要填滿重復(fù)的部分，也能做到一一對應(yīng)。

但是，康托爾發(fā)現(xiàn)了自然數(shù)集合和實(shí)數(shù)集合之間無法做到一一對應(yīng)。例如，假設(shè)存在

等對應(yīng)關(guān)系，還是能找出與箭頭右邊數(shù)字完全不同的新數(shù)字，比如說0.781。尋找新數(shù)字時，先依次圈出以下幾個數(shù)字，

然后再隨意挑選除 2、5、3 以外的數(shù)，例如 7、8、1。將這選出的三個數(shù)組合在一起，就得到新數(shù)字 0.781。我們發(fā)現(xiàn)對應(yīng)表中并沒有出現(xiàn)0.781。所以，不管如何對應(yīng)自然數(shù)和實(shí)數(shù)，總是有一些實(shí)數(shù)會被遺漏。這種排列實(shí)數(shù)，斜向觀察小數(shù)點(diǎn)后數(shù)字的議論方法被稱作“對角線論法”。

也就說，自然數(shù)集合和分?jǐn)?shù)集合的大小差不多，不過二者都比實(shí)數(shù)集合小。那么無限集合之間也存在大小關(guān)系。康托爾甚至還發(fā)現(xiàn)存在比實(shí)數(shù)集合更大的集合，以及無限集合中有無限的階層。

康托爾的研究引起了很大的爭論，其中大多數(shù)的數(shù)學(xué)家持批判態(tài)度。特別是德國數(shù)學(xué)界的權(quán)威人士、柏林大學(xué)的教授克羅內(nèi)克，當(dāng)時他是批判康托爾的急先鋒。克羅內(nèi)克有句名言“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作”，所以他所認(rèn)為的數(shù)學(xué)是處理類似自然數(shù)等數(shù)字的有限存在。在克羅內(nèi)克看來，康托爾的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)已超出研究實(shí)數(shù)這種“人做的工作”，他把所有自然數(shù)和實(shí)數(shù)看作無限集合，而且對其比較大小，克羅內(nèi)克非常討厭這種人為的數(shù)學(xué)。

面對克羅內(nèi)克的批判，康托爾用了一句名言來反駁，“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是自由”（Das Wensen der Mathematik ist ihre Freiheit）。在古巴比倫和古埃及，人類為了測量土地而發(fā)明了幾何學(xué)，牛頓為了確立力學(xué)定律而發(fā)明了微積分，可以說數(shù)學(xué)是為了理解這個世界而不斷得到發(fā)展。

但是，到了 19 世紀(jì)，出現(xiàn)了一種為了數(shù)學(xué)本身而研究數(shù)學(xué)的想法。只要理論上符合邏輯，任何方面都可以作為研究對象。于是數(shù)學(xué)脫離了外部世界，成為一個獨(dú)立的個體，進(jìn)而發(fā)展成一門憑借學(xué)者思想的翅膀自由飛翔的“自由”學(xué)科。在現(xiàn)在的純粹數(shù)學(xué)中，康托爾的想法再正常不過了，然而在 19 世紀(jì)卻被視為異端。

德國哥廷根大學(xué)的教授戴維·希爾伯特高度贊揚(yáng)了康托爾的功績，并宣稱：“康托爾創(chuàng)建的數(shù)學(xué)天堂，不會驅(qū)逐我們?nèi)魏我粋€人。”

1900 年國際數(shù)學(xué)家大會于巴黎召開，希爾伯特在大會上提出了 23個問題，其中的大多數(shù)問題給 20 世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展帶來了巨大的影響。特別是第一問題，即證明或否定康托爾的猜想“不存在大于自然數(shù)集且小于實(shí)數(shù)集的集合”。康托爾的這個猜想也是著名的“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”。

希爾伯特的第一個問題以一種意想不到的方式得到了解決。20 世紀(jì)初期出生于奧匈帝國的庫爾特·哥德爾在 1931 年證明了“不完備性定理”而聞名于世。不過，他在第二次世界大戰(zhàn)期間逃離了納粹德國，移民到了美國。1940 年，在他剛剛?cè)温氂谄樟炙诡D高等研究院時，指出康托爾的“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”與現(xiàn)在數(shù)學(xué)所使用的標(biāo)準(zhǔn)框架并不矛盾。然而在 1963 年，斯坦福大學(xué)的保羅·寇恩在否定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的情況下證明了其與數(shù)學(xué)所使用的標(biāo)準(zhǔn)框架并不矛盾。

我們發(fā)現(xiàn)，結(jié)合哥德爾定理和寇恩定理都無法證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是否正確。不管是肯定還是否定，在數(shù)學(xué)的世界里都不會產(chǎn)生悖論。也就是說，我們可以認(rèn)為存在“大于自然數(shù)集且小于實(shí)數(shù)集的集合”，也可以認(rèn)為不存在“大于自然數(shù)集且小于實(shí)數(shù)集的集合”。就像在前面提到的“加州旅館”的世界里，就存在“大于自然數(shù)集且小于實(shí)數(shù)集的集合”

02

1 = 0.99999…讓人難以接受？

用小數(shù)表示數(shù)字時，經(jīng)常會出現(xiàn)小數(shù)點(diǎn)后排列著無窮個數(shù)字的情況。例如 1 除以 3，得到

0. 后面跟著無窮個 3。接下來，我們來思考一下“無限小數(shù)”。在第 2 章中，我們已經(jīng)說過除法運(yùn)算是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算。除以 3就是乘以 3 的逆運(yùn)算。那么，

然后計算等號的右邊，

因?yàn)榈忍栕笥覂蛇呄嗟龋?/p>

成立。上述等式是由“除法運(yùn)算是乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算”的定義中推導(dǎo)而出，按理說應(yīng)該是正確的。不過，很多人無法接受這個等式。左邊的 1 和右邊的 0.99999 ··· 看起來就不一樣，竟然能畫上等號，真是太不可思議了。

既然無法接受 1 = 0.99999 ···，那么這兩個數(shù)的差又等于多少呢？使用加法運(yùn)算和減法運(yùn)算的基本法則，如果 a ? b = 0 的話，那么 a = b。假設(shè) 1 ? 0.99999 ··· = 0，那么必須承認(rèn) 1 = 0.99999 ···。不過，如果假設(shè) 1 ? 0.99999 ··· 不等于 0 的話，結(jié)果又會是什么樣呢？這個時候，問題就變成了 1 和 0.99999 ··· 之間的差到底等于多少？

0.99999 ··· 這個無限小數(shù)的表示方法有點(diǎn)太麻煩了。“···”到底指的是什么？作為有限存在的我們當(dāng)然無法一次性理解帶有無窮個數(shù)字的無限小數(shù)。那么，我們先來理解一下有關(guān) 0.9、0.99、0.999、0.9999等有限小數(shù)。這種數(shù)字排列方式成為“數(shù)列”。接下來計算以上數(shù)列和1 的差。

我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的數(shù)字越長，右邊的數(shù)值就越趨近于 0。也就是說，1 和 0.99999 ··· 的差小于任何數(shù)。

數(shù)列越長，其數(shù)值就越趨近 1，而且和 1 的差就越小。例如，這個數(shù)列的第 4 位數(shù)不管取哪個數(shù)，該數(shù)列和 1 的差都會小于 1/1000。要想提高精確度，使其和 1 的差小于 1/1 000 000 的話，只要關(guān)注第 7 位數(shù)即可。不管要求的精確度有多高，從第某位數(shù)起取任意數(shù)都能滿足所要求的精確度。

在數(shù)學(xué)中，定義非常重要。特別是在思考我們直覺無法理解的無限時，定義顯得尤其重要。進(jìn)入 19 世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)家們深入研究無限時，發(fā)現(xiàn)有必要正式給“極限”下一個定義。假設(shè)已知數(shù)列 a1、a2、a3、··· 不斷趨近某個數(shù) A。此時，不管要求的精確度有多高，從第某位數(shù)起取任意數(shù)都能滿足所要求的精確度，這就叫作“這個數(shù)列的極限是 A”。這就是極限的定義。

例如數(shù)列 0.9、0.99、0.999、··· 看起來不斷趨近于 1。不管要求的精確度有多高，n 以后的數(shù)··· 和 1 的差都滿足所要求的精確度。所以 0.9、0.99、0.999、··· 的極限是 1。這就是算式“0.99999 ··· = 1”中包含的意思。

《用數(shù)學(xué)的語言看世界（增訂版）》

作者：[日] 大栗博司

譯者：尤斌斌

美國加州理工學(xué)院理論物理研究所所長，日本東京大學(xué)Kavli數(shù)學(xué)物理學(xué)聯(lián)合宇宙研究機(jī)構(gòu)研究主任 大栗博司 教授

突破傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育教學(xué)順序、方式 / 以“語言思維”講解數(shù)學(xué)核心概念、原理 / 回歸“基本原理”重新認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)