|作者：江云峰

(東南大學物理學院 丘成桐中心)

本文選自《物理》2025年第6期

摘要可積量子場論是具有無窮多局域守恒流的特殊量子場論，一般只能定義在1+1維時空。這類量子場論可以用可積性方法精確求解，是研究非微擾量子場論的重要理論模型。近年來，可積性方法被應用于某些高維時空的量子場論的求解，對于深入理解高維量子場論和量子引力理論起到日益重要的作用。文章介紹可積量子場論的概念及精確求解的主要思想與方法。

關鍵詞量子場論，可積性，S-矩陣，楊—巴克斯特方程

01

引 言

1.1　量子場論：從經典到量子

我們在中學物理中就接觸過場的概念。以電磁學為例，電荷和磁體周圍存在一種看不見的實體——電磁場，它能對電荷施加作用力，也能使鐵屑排列成規則的圖案，如圖1所示。

圖1 磁鐵周圍的鐵屑排布成規則的形狀，反映了磁場的存在

“場”這一概念最早由英國物理學家法拉第于1845年提出，場概念的提出最早與解釋電荷間的相互作用有關。我們知道同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引，這種作用是如何實現的？最直觀的解釋是所謂的“超距作用”——兩個帶電粒子可以不借助任何媒介，瞬間在任意距離上產生相互作用。但這種觀點在哲學上很不自然。更合理的解釋是：帶電粒子通過它們產生的電磁場相互影響。如此一來，場就成為了相互作用的媒介，使得作用變得局域化。麥克斯韋的理論進一步揭示，場不僅能傳遞相互作用，還能以電磁波的形式在空間中傳播，且速度是有限的，這就是電磁波。可以說，場是物理學中最基本也是最重要的概念之一。

將場的概念與量子力學原理相結合，就產生了量子化的場。簡而言之，量子場能在時空各處產生或湮滅粒子。量子場論就是以這種量子化的場為基本研究對象的理論框架。在這個理論中，粒子被視為場的激發，因此量子場論能自然地描述多粒子系統。作為現代物理學的基石，量子場論既是構建粒子物理標準模型的理論框架，也是研究量子多體系統集體行為的有效方法。

1.2　對稱性

對稱性在物理學中同樣占據核心地位。日常生活中，我們常能直觀地感覺某些圖形比其他圖形更“對稱”。如何更嚴謹地定義這種直覺呢？物理學中，如果一個對象在某種變換下保持不變，我們就說它具有相應的對稱性。以三角形為例：普通三角形需要三個參數(如三邊長度)才能完全確定形狀；等腰三角形由于具有一條對稱軸(圖2(b)中的虛線)，圖形關于這個對稱軸翻轉對稱，因此僅需兩個參數就能確定；而等邊三角形具有三條對稱軸(圖2(c)中的三條虛線)，只需一個參數(邊長)就能確定。

圖2　不同三角形的對稱性

這個簡單的例子揭示了一個深刻的原理：對稱性越高，對象就越簡單，所需的描述參數也越少。在量子場論中，對稱性表現為理論在特定變換下的不變性。最基本的對稱性包括時空平移、旋轉和偽轉動等，這些變換構成龐加萊群，而這些與空間和時間操作相關的對稱性稱為時空對稱性。場論的時空對稱性來自于相對論的要求。此外，場論還可能具有內稟對稱性——即改變粒子內部屬性(如電荷、自旋)但保持所有物理觀測量不變的變換。

對稱性越高，理論就越簡單。但這是否意味著對稱性越高越好？實際上，過高的對稱性會使理論變得平庸，退化為自由場論(即場激發的粒子間沒有相互作用)。美國理論物理學家Coleman和Mandula在1967年證明了一個重要定理[1]：對于大多數場論而言，如果時空對稱性大于龐加萊群，理論只能是自由場論。這個“不可行定理(no-go theorem)”為場論的對稱性設定了某種自然界限。

1.3　可積性

物理學中有許多“不可行定理”，但人類的本性總是渴望突破限制。Coleman—Mandula定理在1+1維時空(一維空間加一維時間)中并不適用，這使得1+1維量子場論可以擁有遠大于龐加萊群的對稱性。某些理論甚至具有無限多對稱性，這類特殊的量子場論被稱為可積量子場論。盡管對稱性極高，它們仍能描述有相互作用的粒子系統，而且由于對稱性帶來的簡化，這些理論可以精確求解。

量子場論是相當復雜的理論，這從相關教科書的厚度就可見一斑。對于有相互作用的場論，并沒有普適的求解方法。這里的求解指的是計算量子場論的各種可觀測量，包括能譜、散射振幅和關聯函數等。當前處理相互作用量子場論的主要手段是微擾方法。微擾方法在量子場論的發展歷程中取得了輝煌的成功，電子反常磁矩的高精度計算就是一個著名的范例。然而，微擾方法也存在諸多局限性。例如，(1)高階計算極其復雜；(2)僅適用于弱耦合情形；(3)某些物理量的微擾級數甚至不收斂。更重要的是，像夸克禁閉、高溫超導等重要物理現象都發生在非微擾區域。因此，發展非微擾方法求解量子場論是一個重要的研究課題。可積量子場論的價值正在于此——它提供了一個研究非微擾量子場論的重要窗口。在可積量子場論中，能譜、散射矩陣、關聯函數等重要物理量都可以通過非微擾方法嚴格計算，這些方法統稱為“可積性方法”。

02

量子場論與S-矩陣理論

標準的量子場論教科書通常使用作用量(action)來描述量子場論。作用量是場的泛函，通過最小作用量原理可以導出場的運動方程。給定一個經典作用量，我們可以通過量子化程序得到相應的量子理論。然而，作用量并非總是最便捷的描述方式，尤其是在研究可積量子場論時，另一種基于粒子散射圖像的描述方式往往更為有效，這一描述方式可以追溯到量子理論的早期。

2.1　S-矩陣理論與自舉思想

早在20世紀30年代，一些物理學家(如原子彈之父奧本海默)就發現量子場論的高階微擾計算會出現發散(即無窮大)，而當時重整化理論尚未成熟，人們不知道如何處理這些發散。面對這一困境，惠勒和海森伯提出了一個大膽的方案：放棄量子場論，轉而研究實驗上可觀測的散射振幅，即S-矩陣(S是“散射”(scattering)的縮寫)。S-矩陣理論的核心思想是：不依賴具體的場論作用量，而是直接從物理原理出發，約束和確定散射振幅的形式。這些約束包括：

(1)幺正性(unitarity)——保證散射過程的概率守恒；

(2)交叉對稱性(crossing symmetry)——反映粒子與反粒子之間的對稱性；

(3)解析性(analyticity)——S-矩陣作為動量和能量的復變函數，其解析結構蘊含了理論粒子譜的信息。

這種通過一般性原理而非具體模型來構建物理理論的方法，被稱為自舉(bootstrap)方法。關于量子場論中自舉思想的詳細介紹，可以參見本專題中周稀楠的相關文章[2]。

2.2　S-矩陣理論的興衰

在1960年代，S-矩陣理論煊赫一時，一度成為高能物理理論的主流。當時，實驗上不斷發現新的強子，粒子譜變得極其復雜，而量子場論似乎難以解釋這些現象。S-矩陣理論因其非微擾性和普適性備受期待。

然而，到了1970年代，S-矩陣理論開始逐漸式微，主要原因有二：

(1)理論過于復雜——其數學框架高度復雜和技術化，非專家難以掌握和應用；

(2)量子場論的復興——量子色動力學的成功，以及重整化理論的完善，使得場論重新成為高能物理的核心工具。

盡管如此，S-矩陣理論并未被徹底拋棄。它的核心思想——通過對稱性和解析性約束物理理論——仍然具有深遠影響。過去20多年，量子場論的兩個重要進展都可以視為這一思想的延續。在微擾計算方面，散射振幅的在殼方法(on-shell)于2000年之后蓬勃發展，取得了令人矚目的成績，該方法充分利用了散射振幅的幺正性和解析性質，極大地提高了散射振幅計算的效率。在非微擾計算方面，隨著計算能力的提升，現代共形自舉(conformal bootstrap)方法的興起成功帶動了S-矩陣自舉(S-matrix bootstrap)方法的復興，成為研究強耦合場論的重要工具。與1960年代相比，現代S-矩陣自舉方法在目標上選擇退而求其次：不奢求得到S-矩陣的解析表達式，但希望通過一般性原理和解析性質來限制理論中物理量的可能取值范圍。如果這個限制足夠強，則從實用層面來說，與精確計算得到的結果相差不大。

S-矩陣理論最初的愿景：完全確定散射振幅，進而計算所有物理量，在可積量子場論中得到了最完美的實現。由于可積性對理論的動力學具有很強的限制，這些理論的S-矩陣被大大簡化，甚至能精確求解。在此基礎上，物理學家發展了一系列非微擾方法，能夠計算能譜、關聯函數等其他物理量。

03

可積量子場論的求解

3.1 S-矩陣的簡化

在量子場論中，S-矩陣描述入射粒子經過相互作用后演化為出射粒子的過程，其矩陣元對應不同散射過程的概率幅。在一般的場論中，S-矩陣的形式極其復雜——它依賴于所有入射和出射粒子的動量，而這些動量在高維時空中的組合方式有很多，因此S-矩陣依賴于多個自變量。然而，在1+1維可積量子場論中，由于空間僅有一維，粒子的能量(

E

)和動量(

p

)可以完全由快度(rapidity)

參數化：

E

m

cosh

p

m

sinh

其中，

m

是粒子的質量。由二維洛倫茲不變性，S-矩陣實際上僅依賴于粒子的快度差。更關鍵的是，可積性(即存在無窮多守恒量)對S-矩陣施加了極強的約束，導致散射過程滿足以下性質：

(1)彈性散射：可積性要求散射過程不改變粒子數，且出射粒子的快度集合與入射粒子完全相同(僅順序可能改變)。換句話說，粒子在散射過程中只交換動量，而不會產生或湮滅。

(2)因子化：任何多粒子散射都可以分解為一系列兩粒子散射。這一性質源于在可積場論中可以對粒子的世界線進行移動而不改變散射振幅的值。利用這個世界線移動自由，我們可以移動粒子的世界線使得不同粒子之間相距很遠，如圖3所示，從而將復雜的散射過程分解為一系列兩體散射過程。

圖3 一個復雜的散射過程分解為一系列兩體散射過程

這里我們注意到1+1維時空和高維時空的本質不同。在高維時空中，如果類似的可積性允許我們自由移動粒子的世界線而不改變散射振幅，則粒子總可以通過“繞行”避免相互作用，因此高維可積場論是自由理論，這正是Coleman—Mandula定理的體現。在1+1維的量子場論中，由于空間是一維的，因此粒子要從入射態到出射態必須經過散射過程，因此散射是不可避免的，但卻是可分解的。

3.2　楊—巴克斯特方程

由以上討論可知，對于可積量子場論，所有相互作用的信息都包含在兩體S-矩陣(其中a，b是入射粒子，c，d是出射粒子)中。那么，如何確定其具體形式？這里可以利用S-矩陣的自舉思想。除了幺正性和交叉對稱性之外，可積場論還有一個特有的關鍵自洽條件——楊—巴克斯特方程。楊—巴克斯特方程的來源其實很簡單。考慮三粒子散射，可積性允許我們將散射過程分解為三個兩體散射，但分解方式不唯一(例如1-2先散射，再與3散射；或2-3先散射，再與1散射)，如圖4所示。

圖4 散射分解的自洽性與楊—巴克斯特方程。圖中直線表示粒子的世界線，取時間為縱軸方向(從下往上)，兩線相交表示對應的兩個粒子發生了散射。左圖的散射過程為粒子1-2先發生散射，之后1-3散射，最后2-3散射；右圖對應的散射過程為粒子2-3先發生散射，之后1-3散射，最后1-2散射

自洽性要求這兩種分解方式的結果必須一致，這一約束正是楊—巴克斯特方程：

楊—巴克斯特方程是可積系統的核心方程，我們簡單介紹一下其歷史脈絡。

(1)1967年，楊振寧在研究一維多體問題時首次提出該方程[3]。

(2)在統計物理領域，類似的方程首次出現在1944年昂薩格嚴格求解二維伊辛模型的論文中，被稱為“星—三角關系(star—triagnle relation)”。澳大利亞理論物理學家巴克斯特進一步利用該關系式求解了大量可積統計物理模型，其中尤其以1972年求解八頂點模型最為著名[4]。

(3)楊—巴克斯特方程在量子場論中的應用最早源自前蘇聯理論物理學家Alexei Zamolodchikov和Alexander Zamololdchikov兄弟在1979年的開創性工作[5]。

(4)從1970年代末到1980年代，Ludwig Faddeev領導的前蘇聯列寧格勒(現在的圣彼得堡)學派以楊—巴克斯特方程為核心開創了量子逆散射方法，開啟了量子可積系統的新篇章。列寧格勒學派人才輩出，他們的工作對數學和理論物理都產生了深遠影響。量子逆散射方法可以用于求解包括量子場論在內的各類可積系統，并且揭示了不同體系背后的共同代數結構。

(5)1980年代中期，烏克蘭數學家Vladimir Drinfeld[6]和日本數學家神保道夫(Michio Jimbo)[7]基于楊—巴克斯特方程的研究獨立提出量子群的概念，開創了代數學的一個新分支，至今依然是基礎數學的重要研究領域。

回到可積量子場論的討論上。自洽性條件告訴我們，可積量子場論的兩體散射S-矩陣必須是楊—巴克斯特方程的解。數學家們對楊—巴克斯特方程進行了深入研究，并對各類可能的解進行了系統分類。因此，一旦知道了兩體散射矩陣滿足楊—巴克斯特方程，就可以利用已有的數學結果確定S-矩陣的形式。由理論的內稟對稱性和楊—巴克斯特方程一般能夠把S-矩陣的形式確定到只差一個或幾個標量因子。幺正性和交叉對稱性則給出了這些標量因子滿足的函數方程。

3.3　解析性與粒子譜

為了計算這些標量因子，我們需要求解函數方程，但這些函數方程的解不是唯一的。為了把解最終確定下來，還需要其他條件。這里的關鍵是利用S-矩陣的解析性質。將快度

延拓到復平面后，S-矩陣的非解析點(極點、支點等)包含了理論粒子譜的重要信息。例如，一階極點的位置通常與單粒子的質量密切相關，而支點位置往往對應于粒子對產生的能量閾值。因此，一個合理的假設是S-矩陣中所有非解析點都必須有物理解釋。換句話說，找不到物理對應的非解析點是不允許存在的，這也叫做最大解析性假設。

在最大解析性假設的前提下，加上一些關于粒子譜的信息(一般源于對稱性、微擾計算等)，在許多情況下可以完全確定兩體S-矩陣的解析表達式。

3.4　剩余不確定度與無關可解形變

即使作了最大解析性假設，有時依然無法完全確定兩體S-矩陣，因為我們總可以乘上一些解析函數(它們不引入額外的不解析點)。有一族解析函數自動滿足幺正性條件和交叉對稱性，它們被稱為Castillejo—Dalitz—Dyson因子，簡稱CDD因子。給定一個S-矩陣，乘上任意的CDD因子總可以得到另外一個在自舉意義下“合法”的解，因此有時候CDD因子也被稱為CDD不確定度。要消除這些不確定度一般還需要和微擾計算作進一步比對。近年來，基于二維量子場論可解形變的研究，人們開始逐漸理解CDD因子的物理含義。這些因子不改變場論在低能標區的性質，但是極大地改變場論在高能標區的行為。二維量子場論的可解形變也是當前理論物理研究的活躍前沿，感興趣的讀者可以查閱筆者的綜述文章[8]。

3.5　從S-矩陣到其他可觀測量

S-矩陣是場論的重要可觀測量，在高能物理的應用中尤為重要。在得到S-矩陣之后，可以以此為基礎計算其他物理量。例如，我們將1+1維場論定義在有限空間，此時時空拓撲是一個柱面，可以求解理論的有限尺度能譜。求解的方法稱為熱力學貝特擬設(thermodynamic Bethe ansatz，TBA)。該方法的基本思想是將柱面旋轉90°，相當于將時間方向與空間方向互換，以此將一個有限尺度的問題轉化為一個有限溫度的問題。此時，有限尺度能譜的計算轉化為有限溫度下的自由能的計算，這就成了一個統計物理問題。類似的問題在1969年由楊振寧和楊振平先生提出的理論方法[9]解決，該方法結合了貝特擬設與熱力學的基本原理，因此被稱為熱力學貝特擬設。同樣的思路可以用于求解場論的有限尺度能譜問題，這一推廣是Alexei Zamolodchikov在1990年提出的[10]。TBA方法是研究一般可積系統熱力學，以及可積場論在不同能標下的行為的重要理論工具。

關聯函數是場論的另外一類重要可觀測量。在一般量子場論中，關聯函數的非微擾計算是一個很困難的問題。在可積場論中，目前計算關聯函數的最常用方法是所謂的形狀因子(form factor)自舉法。其基本思想是將關聯函數展開為一系列形狀因子，再通過自舉方法來確定這些形狀因子。該方法的基本思想發軔于1970年代Karowski和Weisz的工作[11]，其后由Smirnov[12]、Karowski和Babujian等人作了一系列重要推廣。

04

從二維到高維

長期以來，可積性方法似乎被禁錮在1+1維時空的框架內。然而，過去20年的研究顛覆了這一認知——四維最大超對稱楊—米爾斯理論(

N

=4 supersymmetric Yang—Mills theory，簡稱

N

=4 SYM理論)的可積結構的發現，將可積性方法的疆域拓展到了高維時空。在此之后，另外幾個重要的高維可積場論也相繼被發現，包括2+1維時空的ABJM(Aharony—Bergman—Jafferis—Maldacena)理論，以及

N

=4 SYM 理論的若干可積形變如β-形變、γ-形變等。這些理論一般具有超對稱性，并對偶于某些彎曲時空的量子引力理論。可積性方法在這些理論中的應用為人們求解高維量子場論和量子引力理論提供了新的理論工具。

4.1　“21世紀的氫原子”

作為四維相互作用量子場論，

N

=4 SYM理論結構豐富，包含規范場、費米子場和標量場，可視為量子色動力學(描述自然界強相互作用的基本理論，簡稱QCD)的超對稱擴展。從表面上看，

N

=4 SYM理論的作用量比QCD復雜不少，但它具有很高的對稱性，包括：

(1)共形對稱性：理論在所有能標下保持形式不變；

(2)最大超對稱性：超對稱允許費米子與玻色子相互轉化，

N

=4超對稱是四維場論允許的超對稱性上限，包含16個超對稱生成元。

此外，由于AdS/CFT對偶，

N

=4 SYM理論與反德西特空間(Anti-de Sitter，一般簡稱AdS)中的IIB-型超弦理論嚴格等價，因此在強耦合極限可以利用超弦理論與超引力理論方法求解。這些特性使得

N

=4 SYM理論有望成為首個可以非微擾求解的四維相互作用場論，因此該理論又被譽為“21世紀的氫原子”。這個比喻頗有深意。在20世紀，人們通過嚴格求解氫原子模型為定量研究原子內部結構提供了明確的理論指導，這為人類深入理解物質的內部結構奠定了堅實的基礎。21世紀，我們期望對時空本身的結構有更深入的理解，如果能夠像求解氫原子模型一樣嚴格求解

N

=4 SYM理論，將會大大增進我們對于時空的量子本質的理解，因此對該理論的求解具有深遠的意義。

4.2　可積結構的發現

N

=4 SYM理論可積結構的發現源于2002年前后的兩個工作：

(1)弱耦合端：瑞典烏普薩拉大學的Zarembo和Minahan發現，理論的伸縮算符(單圈修正)與海森伯自旋鏈(1928年提出，1931年由貝特嚴格求解，是著名的量子可積系統)在數學上同構[13]；

(2)強耦合端：加州大學的Bena、Polchinski和Roiban證明，對偶弦理論的世界面具有經典可積性[14]。

這些發現暗示：

N

=4 SYM理論可能在所有耦合強度下都具有可積結構，后續研究證實了這一猜想 [15] 。

有些讀者可能會困惑，Coleman—Mandula定理不是告訴我們高維相互作用場論不可能是可積的嗎？那么，應該如何理解

N

=4 SYM理論的可積性？這里需要區分兩個概念。一個理論具有可積結構和這個理論本身是一個可積理論并不完全相同。有時，某個不可積理論可能在某個極限下具有可積結構，或者在計算某一類物理量時具有可積結構。在

N

=4 SYM理論中，可積性確實存在于一個特殊的極限下，這個極限稱為't Hooft極限，定義如下：令理論的楊—米爾斯耦合常數

g

YM 趨于無窮小，規范群的階數

N

趨于無窮大，同時令

g

YM 2

N

保持有限，

稱為't Hooft耦合常數。在大

N

極限下，物理量可以按照1/

N

作微擾展開，其中領頭階的結果就是't Hooft極限(又稱為平面極限)的結果。

N

=4 SYM理論的可積結構就存在于平面極限。此時理論等效于一個弦理論，真正可積的是這個弦理論的世界面，其上粒子之間的散射矩陣滿足楊—巴克斯特方程。我們可以通過這個“隱藏”的低維可積系統來計算

N

=4 SYM理論在大

N

極限下的各種物理量。

平面極限下的

N

=4 SYM理論是一個特殊而豐富的可積系統，許多傳統可積系統都可以在其中找到身影。當0<

?1時(稱為弱耦合極限)，這個理論更像是一個可積自旋鏈。此時場論的許多計算可以轉化為自旋鏈的計算，例如場論中算符的量綱計算可以轉化為自旋鏈體系的能量的計算。而當

?1時(稱為強耦合極限)，這個理論更像是一個弦論。因為弦論的世界面是一個二維場論，因此許多研究二維量子場論的方法可以應用于此。唯一不同的是，在光錐規范下，該弦論世界面上的二維場論不滿足洛倫茲不變性，因此不是相對論性的，所以需要對傳統可積場論中的理論工具進行適當推廣和改造。在強耦合極限下，場論的計算可以轉化成弦論的計算。例如場論算符的量綱可以轉化為弦的能量的計算。更為重要的是，有一些物理量能夠在任意有限的

精確計算，其中最重要的代表就是算符的共形量綱(conformal dimension)。利用2014年提出的量子譜曲線方法(quantum spectrul curve) [16] ，已經能夠高效地計算任意't Hooft耦合下的算符共形量綱，這充分顯示了可積性方法的強大威力。

除了算符的量綱之外，其他關鍵物理量的計算也取得了重要突破。例如算符乘積展開(OPE)系數(包含理論的重要動力學信息)，以及散射振幅等。這些物理量的計算比算符的量綱要復雜得多，而且在傳統可積性研究中沒有對應的物理量，因此需要重新發展新的方法。例如，三個單跡算符的OPE系數如果用弦論的圖像描述，對應于一個閉弦演化成為兩個閉弦的幾率幅；用自旋鏈的圖像描述，則等價于把三個自旋鏈粘在一起，如圖5所示。

圖5　單跡算符在弱耦合(a)與強耦合(b)極限下的物理圖像，分別對應于自旋鏈與弦論的計算

這些量在傳統可積性理論中幾乎沒有被研究過。當前OPE系數[17]和散射振幅[18]的計算方法主要是將這些物理量分解成為更基本的單元——稱為形狀因子——的無窮求和。這里的形狀因子和二維可積場論的形狀因子在概念上有一定的相似性，但也有本質不同。形狀因子能夠通過自舉的方法完全確定下來，這部分結果是非微擾的。但是對于無窮多形狀因子進行求和依然面臨重大困難，只能在部分極限下才可以做到。

OPE系數中目前最有可能完全被精確計算出來的是筆者與小松尚太(Shota Komatsu)、Edoardo Vescovi在2019年提出的從兩個巨引力算符(giant graviton)到一個單跡算符的OPE系數[19]。此類OPE系數比較特殊，因為這個情形下，OPE系數恰好可以轉化為一個傳統可積場論中研究過的量——邊界熵來計算。從弦論的角度來看，兩個巨引力子算符對應于一個D-膜(在AdS空間中，該D-膜的世界線是一條一維測地線，該測地線與邊界平直時空有兩個交點，分別對應于兩個巨引力子算符)，相關的OPE系數對應于這個D-膜輻射一個閉弦的幾率幅，如圖6所示。

圖6　兩個巨引力子算符與一個單跡算符的OPE系數，在弦論中對應于一個D3-膜(具有三個空間維度的D-膜)輻射一個閉弦的概率幅

此時熱力學貝特擬設方法提供了一個精確非微擾計算的框架，但是要真正實現對于任意單跡算符在任意耦合常數下的高效率計算還有不少理論工作需要繼續發展完善。

05

總 結

作為現代理論物理的基石，量子場論在粒子物理、凝聚態理論等諸多領域取得了輝煌成就。雖然微擾計算方法成功解釋了大量實驗現象，但其固有局限性促使我們不斷發展非微擾方法。在1+1維時空中，可積量子場論因其嚴格可解性而獨具價值。可積性的約束使得多體散射分解為一系列兩體彈性散射，結合幺正性、交叉對稱性、楊—巴克斯特方程和最大解析性假設，可非微擾地確定兩體散射矩陣。從S-矩陣出發，可以利用可積性方法嚴格計算能譜(熱力學貝特擬設)、關聯函數(形狀因子方法)等關鍵物理量。

21世紀初，隨著AdS/CFT對偶的提出，人們發現一個四維相互作用場論——

N

=4 SYM理論在平面極限下展現出可積結構。傳統可積性方法經改造和推廣后，能夠計算任意耦合下的算符量綱，并在散射振幅與關聯函數的非微擾計算上取得了重要發展。

N

=4 SYM理論是一個極為豐富而又足夠簡單的理論，是第一個有希望被完全求解的高維相互作用的量子場論。目前看來，要實現這個宏偉的愿景，任何單一的技術手段都不足以勝任，需要結合不同的思想與方法。例如，計算高點關聯函數(例如四點函數)時共形自舉方法能夠發揮巨大的作用(詳見周稀楠的文章 [2] )；在強耦合區進行展開時往往得到漸近級數，此時需要利用復現理論進行分析，并從中提取非微擾貢獻(詳見顧杰的文章 [20] )；而在非平面極限，即規范群的階數

N

有限時，超對稱局域化方法是當前為數不多的非微擾精確計算手段(詳見張欣宇的文章 [21] )。多種理論方法的綜合應用和交叉驗證，既為求解

N

=4 SYM理論提供了不同視角，也加快了這些方法之間的融合發展。如果在不遠的將來實現了，或者哪怕部分實現了這個愿望，也會深化我們對于非微擾量子場論的理解。在求解

N

=4 SYM理論的基礎上，我們可以嘗試求解更一般的場論，包括具有更低超對稱的理論、有限

N

情形以及與現實相關的量子色動力學等。

參考文獻

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量子場論中的非微擾方法專題

《物理》50年精選文章