廣義相對(duì)論，愛(ài)因斯坦對(duì)引力的革命性描述，將引力解釋為時(shí)空本身的幾何彎曲。這個(gè)理論的成功是毋庸置疑的，它精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)了從行星軌道到黑洞存在的各種現(xiàn)象。然而，深入其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的特性：廣義相對(duì)論默認(rèn)時(shí)空是沒(méi)有“撓率”的。這并非是愛(ài)因斯坦隨意做出的假設(shè)，而是基于深思熟慮的物理和數(shù)學(xué)考量。

黎曼幾何：廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基石

要理解廣義相對(duì)論為何不考慮撓率，首先需要了解其賴以建立的數(shù)學(xué)框架：黎曼幾何。在黎曼幾何中，曲率是核心概念，它描述了時(shí)空如何彎曲。想象一個(gè)二維的球面，它的表面是彎曲的，這就是一個(gè)具有正曲率的例子。廣義相對(duì)論將引力等同于四維時(shí)空的這種彎曲。

在黎曼幾何中，用于描述向量如何在彎曲時(shí)空中“平行移動(dòng)”的工具是聯(lián)絡(luò)。這個(gè)聯(lián)絡(luò)定義了如何比較不同點(diǎn)上的向量。黎曼幾何的一個(gè)關(guān)鍵特征是其聯(lián)絡(luò)是對(duì)稱的，這意味著它不包含反對(duì)稱的部分，而這個(gè)反對(duì)稱的部分正是我們所說(shuō)的撓率。

更具體地說(shuō)，廣義相對(duì)論使用的是Levi-Civita 聯(lián)絡(luò)。這是黎曼幾何中一個(gè)獨(dú)一無(wú)二的聯(lián)絡(luò)，它具備兩個(gè)關(guān)鍵性質(zhì)：

• 無(wú)撓：這意味著聯(lián)絡(luò)是對(duì)稱的，不含有任何撓率。物理上，無(wú)撓可以理解為：當(dāng)一個(gè)向量沿著一個(gè)無(wú)限小的閉合回路平行輸運(yùn)時(shí)，最終向量與初始向量之間的差異完全由時(shí)空曲率引起，而不是由時(shí)空自身的“扭曲”或“旋轉(zhuǎn)”效應(yīng)造成。
• 度規(guī)兼容：這意味著在平行輸運(yùn)過(guò)程中，向量的長(zhǎng)度和它們之間的夾角保持不變。這與物理現(xiàn)實(shí)高度契合，因?yàn)樵谝ψ饔孟拢杂陕潴w粒子的“路徑”應(yīng)該保持其固有的性質(zhì)。

愛(ài)因斯坦選擇黎曼幾何作為廣義相對(duì)論的基礎(chǔ)，正是因?yàn)樗軌騼?yōu)雅且有效地將引力描述為時(shí)空的彎曲，而黎曼幾何本身就隱含了無(wú)撓的性質(zhì)。

簡(jiǎn)潔性、成功驗(yàn)證與缺乏物理動(dòng)機(jī)

除了數(shù)學(xué)上的自洽性，廣義相對(duì)論不考慮撓率還有深刻的物理原因：

1. 簡(jiǎn)潔與奧卡姆剃刀原則

科學(xué)理論傾向于在滿足解釋能力的前提下選擇最簡(jiǎn)潔的形式。廣義相對(duì)論在沒(méi)有撓率的情況下，已經(jīng)能夠極其精確地描述我們所觀察到的所有宏觀引力現(xiàn)象。從水星近日點(diǎn)的異常進(jìn)動(dòng)到光線在引力場(chǎng)中的偏折，再到引力波的存在和黑洞的形成，標(biāo)準(zhǔn)廣義相對(duì)論都給出了令人信服的解釋?zhuān)⑶疫@些解釋都不需要撓率的存在。

引入撓率會(huì)使理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)變得更加復(fù)雜，但卻沒(méi)有為這些已知的現(xiàn)象提供額外的解釋或改進(jìn)。在沒(méi)有強(qiáng)有力的實(shí)驗(yàn)證據(jù)或理論必要性之前，根據(jù)奧卡姆剃刀原則（“如無(wú)必要，勿增實(shí)體”），引入撓率是不必要的。

2. 愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程的推導(dǎo)

廣義相對(duì)論的愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程可以通過(guò)從Palatini 作用量進(jìn)行變分推導(dǎo)得到。在這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程中，聯(lián)絡(luò)被視為獨(dú)立的變量，可以獨(dú)立于度規(guī)進(jìn)行變分。當(dāng)對(duì)作用量進(jìn)行變分時(shí)，如果不對(duì)聯(lián)絡(luò)的反對(duì)稱部分（即撓率）施加任何外部約束，數(shù)學(xué)結(jié)果自然會(huì)導(dǎo)向一個(gè)無(wú)撓的聯(lián)絡(luò)。這意味著撓率的消失是廣義相對(duì)論數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一種自然結(jié)果，而非一個(gè)強(qiáng)加的額外假設(shè)。

3. 缺乏宏觀尺度的物理源

在廣義相對(duì)論中，時(shí)空的彎曲是由能量-動(dòng)量張量引起的，它描述了物質(zhì)和能量的分布。如果撓率存在，它也需要有自己的物理源。通常認(rèn)為，物質(zhì)的自旋角動(dòng)量可能是撓率的自然來(lái)源。

然而，在宏觀尺度上，組成物體的粒子（如電子、質(zhì)子等）的自旋效應(yīng)非常微弱，它們對(duì)整體時(shí)空幾何的影響可以被完全忽略不計(jì)。例如，在地球或太陽(yáng)這樣的宏觀天體中，其總體的自旋效應(yīng)相比于其質(zhì)量-能量對(duì)時(shí)空的彎曲作用來(lái)說(shuō)微乎其微。因此，在宏觀引力實(shí)驗(yàn)中，我們根本無(wú)法探測(cè)到由自旋引起的撓率效應(yīng)。

撓率的引入：愛(ài)因斯坦-嘉當(dāng)理論

盡管標(biāo)準(zhǔn)廣義相對(duì)論排除了撓率，但這并不意味著物理學(xué)家完全放棄了它的可能性。在一些引力理論的擴(kuò)展中，撓率被明確地引入。其中最著名的就是愛(ài)因斯坦-嘉當(dāng)理論（Einstein-Cartan Theory）。

愛(ài)因斯坦-嘉當(dāng)理論的主要思想是：撓率的源是物質(zhì)的自旋角動(dòng)量密度。在這個(gè)理論中，時(shí)空不僅由能量-動(dòng)量張量引起的曲率來(lái)描述，還會(huì)因物質(zhì)的自旋而產(chǎn)生撓率。

這種理論在微觀尺度和極高物質(zhì)密度（例如中子星的內(nèi)部、黑洞奇點(diǎn)附近，或宇宙大爆炸的極早期階段）下可能變得非常重要。在這些極端條件下，粒子的自旋效應(yīng)可能不再可以忽略。一些研究甚至提出，撓率可能會(huì)在極端引力場(chǎng)中引入一種排斥力，從而可能避免經(jīng)典廣義相對(duì)論預(yù)言的奇點(diǎn)（如黑洞中心和宇宙大爆炸時(shí)刻）的形成。

然而，需要強(qiáng)調(diào)的是，在宏觀低密度區(qū)域，愛(ài)因斯坦-嘉當(dāng)理論與標(biāo)準(zhǔn)廣義相對(duì)論的預(yù)言是完全一致的。這是因?yàn)樵谶@些區(qū)域，物質(zhì)的自旋密度極低，導(dǎo)致?lián)下士梢院雎圆挥?jì)。因此，當(dāng)前的引力實(shí)驗(yàn)，無(wú)論多么精確，都無(wú)法區(qū)分這兩種理論，因?yàn)樗鼈冊(cè)诳捎^測(cè)的范圍內(nèi)給出了相同的物理結(jié)果。

總結(jié)

綜上所述，廣義相對(duì)論不考慮撓率是多方面原因的綜合結(jié)果：它建立在無(wú)撓的黎曼幾何之上，這符合理論的簡(jiǎn)潔性原則；在經(jīng)典引力現(xiàn)象的描述上，無(wú)撓的框架已足夠成功，無(wú)需引入額外的復(fù)雜性；并且在宏觀尺度上，缺乏能夠產(chǎn)生可觀測(cè)撓率的物理源。盡管如此，撓率在其他引力理論（如愛(ài)因斯坦-嘉當(dāng)理論）中仍然是一個(gè)活躍的研究領(lǐng)域，尤其是在探索微觀引力、量子引力或宇宙早期演化等極端條件時(shí)，它的作用可能變得至關(guān)重要。這展示了物理理論在不同尺度和不同情境下可能需要不同數(shù)學(xué)描述的豐富性和復(fù)雜性。