廣義相對論，愛因斯坦對引力的革命性描述，將引力解釋為時空本身的幾何彎曲。這個理論的成功是毋庸置疑的，它精準地預測了從行星軌道到黑洞存在的各種現(xiàn)象。然而，深入其數(shù)學基礎，我們會發(fā)現(xiàn)一個有趣的特性：廣義相對論默認時空是沒有“撓率”的。這并非是愛因斯坦隨意做出的假設，而是基于深思熟慮的物理和數(shù)學考量。

黎曼幾何：廣義相對論的數(shù)學基石

要理解廣義相對論為何不考慮撓率，首先需要了解其賴以建立的數(shù)學框架：黎曼幾何。在黎曼幾何中，曲率是核心概念，它描述了時空如何彎曲。想象一個二維的球面，它的表面是彎曲的，這就是一個具有正曲率的例子。廣義相對論將引力等同于四維時空的這種彎曲。

在黎曼幾何中，用于描述向量如何在彎曲時空中“平行移動”的工具是聯(lián)絡。這個聯(lián)絡定義了如何比較不同點上的向量。黎曼幾何的一個關鍵特征是其聯(lián)絡是對稱的，這意味著它不包含反對稱的部分，而這個反對稱的部分正是我們所說的撓率。

更具體地說，廣義相對論使用的是Levi-Civita 聯(lián)絡。這是黎曼幾何中一個獨一無二的聯(lián)絡，它具備兩個關鍵性質：

• 無撓：這意味著聯(lián)絡是對稱的，不含有任何撓率。物理上，無撓可以理解為：當一個向量沿著一個無限小的閉合回路平行輸運時，最終向量與初始向量之間的差異完全由時空曲率引起，而不是由時空自身的“扭曲”或“旋轉”效應造成。
• 度規(guī)兼容：這意味著在平行輸運過程中，向量的長度和它們之間的夾角保持不變。這與物理現(xiàn)實高度契合，因為在引力作用下，自由落體粒子的“路徑”應該保持其固有的性質。

愛因斯坦選擇黎曼幾何作為廣義相對論的基礎，正是因為它能夠優(yōu)雅且有效地將引力描述為時空的彎曲，而黎曼幾何本身就隱含了無撓的性質。

簡潔性、成功驗證與缺乏物理動機

除了數(shù)學上的自洽性，廣義相對論不考慮撓率還有深刻的物理原因：

1. 簡潔與奧卡姆剃刀原則

科學理論傾向于在滿足解釋能力的前提下選擇最簡潔的形式。廣義相對論在沒有撓率的情況下，已經(jīng)能夠極其精確地描述我們所觀察到的所有宏觀引力現(xiàn)象。從水星近日點的異常進動到光線在引力場中的偏折，再到引力波的存在和黑洞的形成，標準廣義相對論都給出了令人信服的解釋，并且這些解釋都不需要撓率的存在。

引入撓率會使理論的數(shù)學結構變得更加復雜，但卻沒有為這些已知的現(xiàn)象提供額外的解釋或改進。在沒有強有力的實驗證據(jù)或理論必要性之前，根據(jù)奧卡姆剃刀原則（“如無必要，勿增實體”），引入撓率是不必要的。

2. 愛因斯坦場方程的推導

廣義相對論的愛因斯坦場方程可以通過從Palatini 作用量進行變分推導得到。在這個推導過程中，聯(lián)絡被視為獨立的變量，可以獨立于度規(guī)進行變分。當對作用量進行變分時，如果不對聯(lián)絡的反對稱部分（即撓率）施加任何外部約束，數(shù)學結果自然會導向一個無撓的聯(lián)絡。這意味著撓率的消失是廣義相對論數(shù)學結構的一種自然結果，而非一個強加的額外假設。

3. 缺乏宏觀尺度的物理源

在廣義相對論中，時空的彎曲是由能量-動量張量引起的，它描述了物質和能量的分布。如果撓率存在，它也需要有自己的物理源。通常認為，物質的自旋角動量可能是撓率的自然來源。

然而，在宏觀尺度上，組成物體的粒子（如電子、質子等）的自旋效應非常微弱，它們對整體時空幾何的影響可以被完全忽略不計。例如，在地球或太陽這樣的宏觀天體中，其總體的自旋效應相比于其質量-能量對時空的彎曲作用來說微乎其微。因此，在宏觀引力實驗中，我們根本無法探測到由自旋引起的撓率效應。

撓率的引入：愛因斯坦-嘉當理論

盡管標準廣義相對論排除了撓率，但這并不意味著物理學家完全放棄了它的可能性。在一些引力理論的擴展中，撓率被明確地引入。其中最著名的就是愛因斯坦-嘉當理論（Einstein-Cartan Theory）。

愛因斯坦-嘉當理論的主要思想是：撓率的源是物質的自旋角動量密度。在這個理論中，時空不僅由能量-動量張量引起的曲率來描述，還會因物質的自旋而產(chǎn)生撓率。

這種理論在微觀尺度和極高物質密度（例如中子星的內(nèi)部、黑洞奇點附近，或宇宙大爆炸的極早期階段）下可能變得非常重要。在這些極端條件下，粒子的自旋效應可能不再可以忽略。一些研究甚至提出，撓率可能會在極端引力場中引入一種排斥力，從而可能避免經(jīng)典廣義相對論預言的奇點（如黑洞中心和宇宙大爆炸時刻）的形成。

然而，需要強調(diào)的是，在宏觀低密度區(qū)域，愛因斯坦-嘉當理論與標準廣義相對論的預言是完全一致的。這是因為在這些區(qū)域，物質的自旋密度極低，導致?lián)下士梢院雎圆挥嫛Ｒ虼耍斍暗囊嶒灒瑹o論多么精確，都無法區(qū)分這兩種理論，因為它們在可觀測的范圍內(nèi)給出了相同的物理結果。

總結

綜上所述，廣義相對論不考慮撓率是多方面原因的綜合結果：它建立在無撓的黎曼幾何之上，這符合理論的簡潔性原則；在經(jīng)典引力現(xiàn)象的描述上，無撓的框架已足夠成功，無需引入額外的復雜性；并且在宏觀尺度上，缺乏能夠產(chǎn)生可觀測撓率的物理源。盡管如此，撓率在其他引力理論（如愛因斯坦-嘉當理論）中仍然是一個活躍的研究領域，尤其是在探索微觀引力、量子引力或宇宙早期演化等極端條件時，它的作用可能變得至關重要。這展示了物理理論在不同尺度和不同情境下可能需要不同數(shù)學描述的豐富性和復雜性。