一、題目

如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點，且AD=3BD，連接CD并取CD的中點E，連接BE.若∠ACD=∠BED=45°，CD=6√2，則AB的長為_______.

二、分析與解答

本題的圖形和條件都很簡單，已知中告了一條線段長，兩個45°角，一個中點和一個四等分點.

由45°角想到構造等腰直角三角形，由四等分點想到構造相似，因為只知道一條邊的長度，所以大概率要通過等腰直角三角形來拓展已知條件，所以盡量構造含CE、DE或CD的等腰直角三角形，相似大概率由平行線來構造，而且相似必須用上四等分點.考慮到已知中只告了一條邊的長度，所以最終很可能是利用勾股定理求線段長，所以最終圖形要有包含AD、DB、AB或與它們有倍數關系的線段.

所以基本思路就有了：垂線構等腰直角三角形，平行線構相似，最終圖形含DB或與其有倍數關系的直角三角形.

下面提供16種不同方法：

解法一：等腰RT△DGE、等腰RT△CEF，△BDG∽△BAF，相似比1:4

CE=DE=3√2，EG=EF=DG=3

AF=4DG=12，BG=1/3FG=2，BF=8

∴AB=4√13

解法二：等腰RT△DGE、等腰RT△CDF，△BDG∽△DAF，相似比1：3

DE=3√2，CD=6√2

DG=3，DF=6，BG=1/3DF=2

DB=√13，AB=4√13

解法三：等腰RT△DGE，△BDF∽△ADC(1:3)

DF=1/3CD=2√2，DE=3√2，DG=EG=3

BG/EG=DF/DE=2/3，BG=2/3EG=2

BD=√13，AB=4√13

解法四：等腰RT△DGE，△BDG∽△BFE(2:5)

DE=3√2，DG=EG=3

BG/EG=BD/DF=2/3，BG=2/3EG=2

DB=√13，AB=4√13

解法五：等腰RT△DGE、等腰RT△DHE，△BDH∽△DFG(2:3)

DE=3√2，DG=DH=3，BH=2/3BG=2

DB=√13，AB=4√13

解法六：等腰RT△DGC、△FDG∽△FAC(2:5)

CD=6√2，CG=DG=6

AC=5/2DG=15，FG=2/3CG=4

DF=2√13，AB=4√13

解法七：等腰RT△CEF，△FGE∽△FAB(3:8)

CE=3√2，CF=EF=3

GE:AG=1/2AD:AB=1/2AD:4/3AD=3:8

EF:BE=3:5，BE=5，BF=8

設FG=3x，AG=5x

則3x+3=5x，x=3/2

AF=8x=12，AB=4√13

解法八：等腰RT△CEF，△CFG∽△AFB(1:4)

CE=3√2，CF=EF=3

設FG=x，則BE=x+3

BF=4GF，x+6=4x，x=2，FG=2

CG=√13，AB=4CG=4√13

解法九：等腰RT△DFG，△BDE∽△ADF(1:3)

DE=3√2，DF=3DE=9√2，DG=GF=9

AG:GF=CD:DF=6√2:9√2=2:3

AG=2/3GF=6，AD=3√13，AB=4√13

解法十：等腰RT△CGE，△ADF∽△ABG(3:4)

CE=3√2，CG=GF=3，DF=2GE=6（中位線）

AF:FG=AD:DB=3，AF=3FG=9

AD=3√13，AB=4√13

解法十一：等腰RT△CDG，△ADG∽△AFC(3:5)

CD=6√2，CG=DG=6

AG:CG=AD:DF=3:2，AG=3/2CG=9

AD=3√13，AB=√13

解法十二：等腰RT△CDG、等腰RT△BEF，△BDF∽△ADC(1:3)

CD=6√2，CG=DG=6，DF=1/3CD=2√2

DE=3√2，EF=5√2，BF=5，AC=3BF=15

AG=AC-CG=15-6=9

AD=3√13，AB=4√13

解法十三：等腰RT△CGE、等腰RT△BEF，△BDF∽△ADC(1:3)

CE=3√2，CG=EG=3

CD=6√2，DF=1/3CD=2√2，

DE=3√2，EF=5√2，BF=BE=5

BG=8，AC=3BF=15，AG=12

AB=4√13

解法十四：等腰RT△DGE，△FDG∽△FBE(3:5)

DE=3√2，DG=EG=3

FG:GE=FD:DB=3:2，FG=3/2GE=9/2

FD=3√13/2，AD=3√13，AB=4√13

解法十五：等腰RT△DGE、等腰RT△ACF，△BDE∽△ADF(1:3)

DE=3√2，DG=EG=3，DF=3DE=9√2

CD=6√2，CF=15√2，AF=15

BE=1/3AF=5，BG=2

DB=√13，AB=4√13

解法十六：等腰RT△CDG，△BDE∽△ADF(1:3)

CD=6√2，CG=DG=6

DE=3√2，DF=3DE=9√2

AG:CG=FD:CD=3:2，AG=3/2CG=9

AD=3√13，AB=4√13

三、小結

1、遇特殊角，構造特殊三角形，常作垂線.

2、遇線段比，構造相似，常作平行線.