一、題目

如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一點，點F在邊CD的延長線上，且BE=DF，連接EF交邊AD于點G，過點A作AN⊥EF，垂足為M，交邊CD于點N.若BE=5，CN=8，則線段AN的長為____

二、分析與解答

看到正方形中有互相垂直的線段，很容易想到十字模型，另外由BE=DF，AB=AD，也容易想到構造全等.

思路一：十字模型+相似

解法一：過點G作GH⊥BC于點H

△ADN≌△GHE，設DN=EH=x，則CH=DG=3

△FDG∽△FCE，FD/FC=DG/CE

5/(x+13)=3/(x+3) 解得x=12

∴DN=12，AD=20，AN=4√34

解法二：過點D作DH//GE，交BC于點H.

△ADN≌△DCH，設DN=CH=x，則EH=DG=3

tan∠CFE=(x+3)/(x+13)=3/5 解得x=12

∴DN=12，AD=20，AN=4√34

解法三：過點E作EH⊥AD于點H

AH=BE=5，△ADN≌△EHG，設DN=HG=x，則DG=3

tan∠HEG=x/(x+8)=3/5，解得x=12

∴DN=12，AD=20，AN=4√34

思路二：全等+勾股

解法四：連接AE、AF、EN

∵△ABE≌△ADF ∴AE=AF

又∵AM⊥EF ∴EM=FM（三線合一）

∴EN=FN（垂直平分線的性質）

設DN=x，則CE=x+3，EN=FN=x+5

由勾股定理，得 (x+3)^2+8^2=(x+5)^2

解得 x=12

∴DN=12，AD=20，AN=4√34

思路三：不作輔助線

△ADN∽△FCE，設DN=x，

則CF=x+13，AD=x+8，CE=x+3

AD/CF=DN/CE

(x+8)/(x+13)=x/(x+3) 解得x=12

∴DN=12，AD=20，AN=4√34

三、小結

正方形對邊十字線段相等，矩形對邊十字線段比等于長寬比.

正方形構造十字全等，矩形構造十字相似.