代數推理求最值

2024年安徽省中考數學第23題

學生在解無圖幾何題或函數題的時候，面臨最大的考驗就是能否迅速在大腦中構圖，這種利用想像“作圖”的技能在七年級我們開始學習數軸時，就能夠進行針對性培養了。

在較為復雜的函數綜合題中，無圖確實造成了一定困難，原因有很多種，也許沒必要給出函數圖象，也許函數圖象是動態的，但無論哪種原因，學生在解題時，都需要自已構建圖形，先在大腦中生成，再落實到草稿紙上。

而2024年安徽省這道函數壓軸題，不畫函數圖象也可以解，它更側重于代數推理，輔以直觀想像。代數推理作為數學教育的重要組成部分，長久來在培養學生邏輯思維和問題解決能力方面發揮著重要作用。隨著時代的發展和教育的進步，代數推理在新課標中的地位和重要性愈發凸顯。新課標明確指出，代數推理是數學學科核心素養的重要構成，是學生適應未來社會和個人發展所必需的數學基礎知識和基本技能之一。

題目

已知拋物線y=-x2+bx(b為常數)的頂點橫坐標比拋物線y=-x2+2x的頂點橫坐標大1.

(1)求b的值；

(2)點A(x1,y1)在拋物線y=-x2+2x上，點B(x1+t,y1+h)在拋物線y=-x2+bx上.

(i)若h=3t，且x1≥0，t>0，求h的值；

(ii)若x1=t-1，求h的最大值.

解析：

01

(1)拋物線對稱軸即頂點橫坐標，利用公式可列方程b/2-1=1，解得b=4;

02

(2)分別將點A、B坐標代入相應的函數解析式中，并將第一個式子代入第二個，推導如下：

(i)當h=3t時，上式變成

(ii)當x1=t-1時，上式變成

解題思考

在初中階段，幾何課程是發展推理能力的主要載體。但除了幾何推理，2022年新課標還要求適當加強代數推理。

與幾何課程相比，我國傳統初中代數課程強調的是各種代數運算，以及基于運算方程、不等式、函數等概念及其應用，對代數推理(主要是演繹推理)的要求并不多。之所以造成這種現象，一方面是因為中學代數的本質特征是符號運算，而符號運算是數學學習的一個重要的基本功；另一方面是因為代數推理比較抽象與形式化，不像幾何推理那樣直觀，對多數學生來說比較困難。

2022版新課標之所以對代數推理給予了足夠的重視，至少有三個理由：一是代數推理比幾何推理更為基本、純粹，也有更多的應用，特別是高中階段的數學學習需要借助大量的代數推理；二是加強代數推理有助于學生理解代數及其運算的意義；三是小學階段對符號意識與推理意識的培養為初中階段的代數推理提供了一些準備。

——《2022版新課標解讀》

回到本題第2小題第1問，我們可分別作出這兩條拋物線，其中點A與點B存在一種對應關系，當點A在y=-x2+2x上時，對應的點B也在y=-x2+4x上，這兩條拋物線的頂點分別是(1,1)和(2,4)，因此我們也可以將其看作是拋物線y=-x2+2x向右平移1個單位，再向上平移3個單位后得到拋物線y=-x2+4x，如下圖：

由于t和x1均為正數，因此我們只用觀察y軸右側的圖象，我們分別過點A、B向坐標軸作垂線，構造出Rt△ABC，當點A在拋物線上運動時，這個三角形也隨之在兩條拋物線之間滑動，并且保持形狀大小不變；

由于點A是拋物線上任意一點，平移變換中它的對應點就是點B，上圖中的向量OP指明了平移方向和距離。

可以發現，整個解題過程中，將點A、B坐標分別代入各自的解析式中，再聯立得到方程，這個方程描述了點A橫坐標x1、參數t和h之間的關系，當給定其中任意一對量的關系之后，利用代入法“消元”，剩下的兩個量自然就形成了新的函數關系或新的方程，再分別去求解即可。