本書系統全面地論述了地球物理反演領域的基礎性知識，主要介紹了地球物理反演的基本概念、理論框架、算法及其在實際中的應用，內容涵蓋了從基礎的正演問題到復雜的反演問題，包括確定和不確定兩類問題的處理技術，并詳細討論了利用地球物理觀測資料反推地球物理模型的方法，強調了反演技術在地球內部結構研究中的重要性。此外，書中還涉及了最優化理論與方法，包括線性搜索、牛頓法、共軛梯度法等，為解決地球物理中的優化問題提供了理論基礎和實用工具。

責任編輯：焦健 jiaojian@mail.sciencep.com

前言

由地球物理觀測資料去反推地球物理模型，這類問題統稱為反問題。地球物理數據反演與解釋是研究地球內部結構不可或缺的技術手段，而處理技術的有效性和處理結果的可靠性會直接影響地質解釋人員的分析和判斷。

反問題是對正問題而言的。以微分方程為例，正問題涉及如何構建微分方程來描述和刻畫物理過程和系統狀態，以及在特定條件(如初始或邊界條件)下求解這些方程，以獲得對過程和狀態的數學表達。而微分方程的反問題，是指從微分方程解的某些泛函去確定微分方程的系數或其右端項。顯然，這里存在兩種類型的反演問題：第一類是確定過程的過去狀態；第二類是借助解的某些泛函去確定微分方程的系數。無論是上述哪類問題，均是地球物理反演的研究內容。因此，地球物理反演可簡要概括為：在地球物理學中，反演理論是指研究如何將觀測數據映射到相應的地球物理模型的理論和方法。

地球物理學是一門涉及領域極為廣泛的綜合性交叉學科，其內容涵蓋重力、磁力、電場、地震、鉆井及放射性等多個方面。即便是相同的方法，也存在多種不同的數據采集技術，例如在電磁學領域，就有直流電法和交流電法之分。進一步地，根據采集儀器所搭載的平臺，又可以劃分為地面電磁法、航空電磁法、海洋電磁法和井中電磁法等多種形式。此外，根據場源的不同，還可以區分為人工源和天然源兩大類。盡管這些方法各異，正演公式也呈現出千差萬別的特點，但它們都遵循麥克斯韋方程組這一基本規律，因此在反演方法上存在許多共同之處。反演理論關注的是各種地球物理觀測數據反演方法的共同理論基礎、反演過程中普遍遇到的問題，以及解決這些問題所需的必要策略。

絕大多數的地球物理問題都是非線性問題，模型參數和觀測數據之間有著極為復雜的非線性關系。然而，在一定條件下非線性問題可以線性化，即把非線性問題轉化為線性問題。地球物理反演問題有線性反演(如重磁)和非線性反演(如電磁)之分，前者指觀測數據和地球物理模型之間存在線性關系(線性函數或線性泛函)，而后者是非線性關系(非線性函數或非線性泛函)。

在進行反演分析之前，首要任務是確立觀測數據與地球模型參數之間的函數關系。這一步驟至關重要，它使得地球物理學家能夠根據既定的模型參數推算出相應的觀測數據(即完成正演計算)，同時也能根據觀測數據反推出地球物理模型的參數，實現反演映射。顯而易見，正演計算是反演過程的基礎和先決條件。只有當正演計算問題得到妥善解決時，無論是采用解析方法還是數值模擬方法，反演映射才有可能順利實施。然而，并非所有地球物理問題都已經被科學家們徹底理解，并且確立了相應的數學物理模型。例如，天然地震的預測、地磁場的起源及其向西漂移等現象，就是這類尚未完全解決的問題的典型例子。毫無疑問，對于這些尚未完全理解機制的問題，當前的反演技術仍然顯得力不從心。這提醒我們，在地球物理學的探索道路上仍有許多未知領域等待我們去發現和理解。

然而，確立正確的數學物理模型并不意味著反演問題就此解決。與其他學科一樣，反演理論同樣面臨著其特有的挑戰。正如著名理論反演專家R.Parker在其論文“Understanding inverse theory”中所闡述的，反演理論需要解決四大問題。

（1）解的存在性：給定一組觀測數據，是否一定存在一個能擬合觀測數據的解或模型。

（2）模型構建：如果存在性是肯定的，如何求得或構建能擬合觀測數據的解或模型。

（3）非唯一性：能擬合觀測數據的模型是唯一的還是非唯一的。

（4）結果的評價：如果解是唯一的，如何從構建的模型中提取關于真實模型的地球物理信息。

關于解的存在問題：通常并不是什么特別問題，只要擬合差達到了期待的水平，就可以認為解是存在的。

關于解的非唯一性：地球物理中的多解現象是非常普遍的，此時解的非唯一性是地球物理資料反演中最重要的問題之一。由于實際情況下觀測數據的數量有限，且數據中包含復雜的噪聲，解的非唯一性正是由此而來。

當未知模型參數的個數大于觀測數據個數時，即欠定問題，此時解是非唯一的，甚至可有無限多個解能夠擬合觀測數據。為了求得反演問題的一個特定解，我們必須加入一些觀測數據中未包含的信息，這種附加給反演問題的信息稱為“先驗信息”。

根據補充信息類型的不同，可將先驗信息分為以下四類。第一類先驗信息指的是待求地球物理參數的物理性質和其可能的數值范圍，在電磁反演中也稱上下限約束，即給定一個符合常理的電阻率范圍。第二類先驗信息來自其他已知的地質、地球物理和鉆井資料，如反演地區的基底深度、目標層的厚度或金屬礦的屬性等。第三類先驗信息指的是某些參數比其他參數的影響更大，對解決地球物理問題更重要，此時可選擇對模型參數進行加權，在一定權系數的約束下進行求解。這類信息是地球物理反演中極為常用的一種，根據加權系數的不同可得到不同的解。第四類也是純欠定問題解法中常用的先驗信息，假定的地球物理模型“最簡單”。這里的簡單指的是在保留實際地球物理模型基本特征不變的情況下，對地球物理模型的一種簡化。

電磁數據反演主要分為確定性反演和不確定性反演兩大類。其中，不確定性反演是在模型空間按照隨機搜索的方式，達到全局尋優的優化方法，也可以稱為全局最優方法，主要包括貝葉斯反演、粒子群算法和模擬退火算法等。此類方法不需要計算目標函數的梯度值，且反演的最終結果不依賴于初始模型的選擇。然而，基于概率類優化算法的不確定性反演技術需要對模型空間進行大規模密集搜索，正演計算會耗費大量的時間。因此，基于概率類優化算法不確定性反演技術常用于未知數較少的低維問題或者正演計算量小的反演問題，不適合三維反演及正演計算量大的反演問題。

基于梯度類優化算法的確定性反演技術，在模型解空間中搜索最優的下降方向，經有限次迭代就可以完成收斂，從而達到最優解。因此，與不確定性反演相比，基于梯度類優化算法的確定性反演具有更高的計算效率，是目前電磁勘探數據反演的主要技術手段。各種梯度類優化算法，包括高斯-牛頓(Gauss-Newton，GN)法、擬牛頓(quasi-Newton，QN)法、非線性共軛梯度(nonlinear conjugate gradient，NLCG)法和有限內存擬牛頓(BFGS)算法(L-BFGS算法，一種擬牛頓方法)等被應用到尋找電阻率模型最優解問題中。這些算法可以基本滿足三維電磁反演的內存需求以及計算速度的要求。

GN方法以其較少的反演迭代次數和快速的收斂速度而著稱，通過靈敏度矩陣巧妙地避免了二階黑塞(Hessian)矩陣的復雜計算。L-BFGS算法作為一種高效的擬牛頓方法，通過避免密集的Hessian矩陣計算，顯著節省了計算時間，提高了計算效率，而NLCG法則以其較少的正演計算量和較低的內存需求成為解決大規模問題的理想選擇。

對于大規模的電磁反演問題，即使避免了Hessian矩陣，靈敏度矩陣的計算仍需占用大量內存且計算速度慢，因此靈敏度矩陣的計算是高維電磁反演的關鍵問題。為了節省內存和計算時間，常采用伴隨正演的方法計算靈敏度矩陣，即不直接求解靈敏度矩陣而是求解其和一個向量的乘積，通過伴隨正演能夠明顯地改善計算效率。

上述梯度類方法依然是電磁反演技術的核心。雖然這些方法在幾十年前就已經被提出，但現代的反演工作大多是在這些經典框架的基礎上進行一些細節上的優化和調整，主要體現在采用不同的正則化策略來改善性能。

對于反演問題更深層次的理解和見解，我們將在書末的結束語部分進行更深入的探討和闡述。

10號測線聯合反演結果圖

(a) 電阻率模型; (b)密度模型; (c)磁化率模型

聯合反演綜合解釋剖面圖

(a)地表地質圖；(b)推測的地下地層分布圖

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本書可作為高等院校地球物理專業教材，也可作為從事相關領域工作的科研人員和工程技術人員的參考書。

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本文摘自科學出版社2024年12月出版《地球物理反演理論、算法及應用》一書，內容有刪節。標題為編者所加。

（本文編輯：焦健

jiaojian@mail.sciencep.com）

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