本書系統(tǒng)全面地論述了地球物理反演領(lǐng)域的基礎(chǔ)性知識(shí)，主要介紹了地球物理反演的基本概念、理論框架、算法及其在實(shí)際中的應(yīng)用，內(nèi)容涵蓋了從基礎(chǔ)的正演問(wèn)題到復(fù)雜的反演問(wèn)題，包括確定和不確定兩類問(wèn)題的處理技術(shù)，并詳細(xì)討論了利用地球物理觀測(cè)資料反推地球物理模型的方法，強(qiáng)調(diào)了反演技術(shù)在地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)研究中的重要性。此外，書中還涉及了最優(yōu)化理論與方法，包括線性搜索、牛頓法、共軛梯度法等，為解決地球物理中的優(yōu)化問(wèn)題提供了理論基礎(chǔ)和實(shí)用工具。

責(zé)任編輯：焦健 jiaojian@mail.sciencep.com

前言

由地球物理觀測(cè)資料去反推地球物理模型，這類問(wèn)題統(tǒng)稱為反問(wèn)題。地球物理數(shù)據(jù)反演與解釋是研究地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)不可或缺的技術(shù)手段，而處理技術(shù)的有效性和處理結(jié)果的可靠性會(huì)直接影響地質(zhì)解釋人員的分析和判斷。

反問(wèn)題是對(duì)正問(wèn)題而言的。以微分方程為例，正問(wèn)題涉及如何構(gòu)建微分方程來(lái)描述和刻畫物理過(guò)程和系統(tǒng)狀態(tài)，以及在特定條件(如初始或邊界條件)下求解這些方程，以獲得對(duì)過(guò)程和狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達(dá)。而微分方程的反問(wèn)題，是指從微分方程解的某些泛函去確定微分方程的系數(shù)或其右端項(xiàng)。顯然，這里存在兩種類型的反演問(wèn)題：第一類是確定過(guò)程的過(guò)去狀態(tài)；第二類是借助解的某些泛函去確定微分方程的系數(shù)。無(wú)論是上述哪類問(wèn)題，均是地球物理反演的研究?jī)?nèi)容。因此，地球物理反演可簡(jiǎn)要概括為：在地球物理學(xué)中，反演理論是指研究如何將觀測(cè)數(shù)據(jù)映射到相應(yīng)的地球物理模型的理論和方法。

地球物理學(xué)是一門涉及領(lǐng)域極為廣泛的綜合性交叉學(xué)科，其內(nèi)容涵蓋重力、磁力、電場(chǎng)、地震、鉆井及放射性等多個(gè)方面。即便是相同的方法，也存在多種不同的數(shù)據(jù)采集技術(shù)，例如在電磁學(xué)領(lǐng)域，就有直流電法和交流電法之分。進(jìn)一步地，根據(jù)采集儀器所搭載的平臺(tái)，又可以劃分為地面電磁法、航空電磁法、海洋電磁法和井中電磁法等多種形式。此外，根據(jù)場(chǎng)源的不同，還可以區(qū)分為人工源和天然源兩大類。盡管這些方法各異，正演公式也呈現(xiàn)出千差萬(wàn)別的特點(diǎn)，但它們都遵循麥克斯韋方程組這一基本規(guī)律，因此在反演方法上存在許多共同之處。反演理論關(guān)注的是各種地球物理觀測(cè)數(shù)據(jù)反演方法的共同理論基礎(chǔ)、反演過(guò)程中普遍遇到的問(wèn)題，以及解決這些問(wèn)題所需的必要策略。

絕大多數(shù)的地球物理問(wèn)題都是非線性問(wèn)題，模型參數(shù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)之間有著極為復(fù)雜的非線性關(guān)系。然而，在一定條件下非線性問(wèn)題可以線性化，即把非線性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題。地球物理反演問(wèn)題有線性反演(如重磁)和非線性反演(如電磁)之分，前者指觀測(cè)數(shù)據(jù)和地球物理模型之間存在線性關(guān)系(線性函數(shù)或線性泛函)，而后者是非線性關(guān)系(非線性函數(shù)或非線性泛函)。

在進(jìn)行反演分析之前，首要任務(wù)是確立觀測(cè)數(shù)據(jù)與地球模型參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。這一步驟至關(guān)重要，它使得地球物理學(xué)家能夠根據(jù)既定的模型參數(shù)推算出相應(yīng)的觀測(cè)數(shù)據(jù)(即完成正演計(jì)算)，同時(shí)也能根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)反推出地球物理模型的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)反演映射。顯而易見(jiàn)，正演計(jì)算是反演過(guò)程的基礎(chǔ)和先決條件。只有當(dāng)正演計(jì)算問(wèn)題得到妥善解決時(shí)，無(wú)論是采用解析方法還是數(shù)值模擬方法，反演映射才有可能順利實(shí)施。然而，并非所有地球物理問(wèn)題都已經(jīng)被科學(xué)家們徹底理解，并且確立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)物理模型。例如，天然地震的預(yù)測(cè)、地磁場(chǎng)的起源及其向西漂移等現(xiàn)象，就是這類尚未完全解決的問(wèn)題的典型例子。毫無(wú)疑問(wèn)，對(duì)于這些尚未完全理解機(jī)制的問(wèn)題，當(dāng)前的反演技術(shù)仍然顯得力不從心。這提醒我們，在地球物理學(xué)的探索道路上仍有許多未知領(lǐng)域等待我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和理解。

然而，確立正確的數(shù)學(xué)物理模型并不意味著反演問(wèn)題就此解決。與其他學(xué)科一樣，反演理論同樣面臨著其特有的挑戰(zhàn)。正如著名理論反演專家R.Parker在其論文“Understanding inverse theory”中所闡述的，反演理論需要解決四大問(wèn)題。

（1）解的存在性：給定一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，是否一定存在一個(gè)能擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)的解或模型。

（2）模型構(gòu)建：如果存在性是肯定的，如何求得或構(gòu)建能擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)的解或模型。

（3）非唯一性：能擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)的模型是唯一的還是非唯一的。

（4）結(jié)果的評(píng)價(jià)：如果解是唯一的，如何從構(gòu)建的模型中提取關(guān)于真實(shí)模型的地球物理信息。

關(guān)于解的存在問(wèn)題：通常并不是什么特別問(wèn)題，只要擬合差達(dá)到了期待的水平，就可以認(rèn)為解是存在的。

關(guān)于解的非唯一性：地球物理中的多解現(xiàn)象是非常普遍的，此時(shí)解的非唯一性是地球物理資料反演中最重要的問(wèn)題之一。由于實(shí)際情況下觀測(cè)數(shù)據(jù)的數(shù)量有限，且數(shù)據(jù)中包含復(fù)雜的噪聲，解的非唯一性正是由此而來(lái)。

當(dāng)未知模型參數(shù)的個(gè)數(shù)大于觀測(cè)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)時(shí)，即欠定問(wèn)題，此時(shí)解是非唯一的，甚至可有無(wú)限多個(gè)解能夠擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)。為了求得反演問(wèn)題的一個(gè)特定解，我們必須加入一些觀測(cè)數(shù)據(jù)中未包含的信息，這種附加給反演問(wèn)題的信息稱為“先驗(yàn)信息”。

根據(jù)補(bǔ)充信息類型的不同，可將先驗(yàn)信息分為以下四類。第一類先驗(yàn)信息指的是待求地球物理參數(shù)的物理性質(zhì)和其可能的數(shù)值范圍，在電磁反演中也稱上下限約束，即給定一個(gè)符合常理的電阻率范圍。第二類先驗(yàn)信息來(lái)自其他已知的地質(zhì)、地球物理和鉆井資料，如反演地區(qū)的基底深度、目標(biāo)層的厚度或金屬礦的屬性等。第三類先驗(yàn)信息指的是某些參數(shù)比其他參數(shù)的影響更大，對(duì)解決地球物理問(wèn)題更重要，此時(shí)可選擇對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行加權(quán)，在一定權(quán)系數(shù)的約束下進(jìn)行求解。這類信息是地球物理反演中極為常用的一種，根據(jù)加權(quán)系數(shù)的不同可得到不同的解。第四類也是純欠定問(wèn)題解法中常用的先驗(yàn)信息，假定的地球物理模型“最簡(jiǎn)單”。這里的簡(jiǎn)單指的是在保留實(shí)際地球物理模型基本特征不變的情況下，對(duì)地球物理模型的一種簡(jiǎn)化。

電磁數(shù)據(jù)反演主要分為確定性反演和不確定性反演兩大類。其中，不確定性反演是在模型空間按照隨機(jī)搜索的方式，達(dá)到全局尋優(yōu)的優(yōu)化方法，也可以稱為全局最優(yōu)方法，主要包括貝葉斯反演、粒子群算法和模擬退火算法等。此類方法不需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度值，且反演的最終結(jié)果不依賴于初始模型的選擇。然而，基于概率類優(yōu)化算法的不確定性反演技術(shù)需要對(duì)模型空間進(jìn)行大規(guī)模密集搜索，正演計(jì)算會(huì)耗費(fèi)大量的時(shí)間。因此，基于概率類優(yōu)化算法不確定性反演技術(shù)常用于未知數(shù)較少的低維問(wèn)題或者正演計(jì)算量小的反演問(wèn)題，不適合三維反演及正演計(jì)算量大的反演問(wèn)題。

基于梯度類優(yōu)化算法的確定性反演技術(shù)，在模型解空間中搜索最優(yōu)的下降方向，經(jīng)有限次迭代就可以完成收斂，從而達(dá)到最優(yōu)解。因此，與不確定性反演相比，基于梯度類優(yōu)化算法的確定性反演具有更高的計(jì)算效率，是目前電磁勘探數(shù)據(jù)反演的主要技術(shù)手段。各種梯度類優(yōu)化算法，包括高斯-牛頓(Gauss-Newton，GN)法、擬牛頓(quasi-Newton，QN)法、非線性共軛梯度(nonlinear conjugate gradient，NLCG)法和有限內(nèi)存擬牛頓(BFGS)算法(L-BFGS算法，一種擬牛頓方法)等被應(yīng)用到尋找電阻率模型最優(yōu)解問(wèn)題中。這些算法可以基本滿足三維電磁反演的內(nèi)存需求以及計(jì)算速度的要求。

GN方法以其較少的反演迭代次數(shù)和快速的收斂速度而著稱，通過(guò)靈敏度矩陣巧妙地避免了二階黑塞(Hessian)矩陣的復(fù)雜計(jì)算。L-BFGS算法作為一種高效的擬牛頓方法，通過(guò)避免密集的Hessian矩陣計(jì)算，顯著節(jié)省了計(jì)算時(shí)間，提高了計(jì)算效率，而NLCG法則以其較少的正演計(jì)算量和較低的內(nèi)存需求成為解決大規(guī)模問(wèn)題的理想選擇。

對(duì)于大規(guī)模的電磁反演問(wèn)題，即使避免了Hessian矩陣，靈敏度矩陣的計(jì)算仍需占用大量?jī)?nèi)存且計(jì)算速度慢，因此靈敏度矩陣的計(jì)算是高維電磁反演的關(guān)鍵問(wèn)題。為了節(jié)省內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間，常采用伴隨正演的方法計(jì)算靈敏度矩陣，即不直接求解靈敏度矩陣而是求解其和一個(gè)向量的乘積，通過(guò)伴隨正演能夠明顯地改善計(jì)算效率。

上述梯度類方法依然是電磁反演技術(shù)的核心。雖然這些方法在幾十年前就已經(jīng)被提出，但現(xiàn)代的反演工作大多是在這些經(jīng)典框架的基礎(chǔ)上進(jìn)行一些細(xì)節(jié)上的優(yōu)化和調(diào)整，主要體現(xiàn)在采用不同的正則化策略來(lái)改善性能。

對(duì)于反演問(wèn)題更深層次的理解和見(jiàn)解，我們將在書末的結(jié)束語(yǔ)部分進(jìn)行更深入的探討和闡述。

10號(hào)測(cè)線聯(lián)合反演結(jié)果圖

(a) 電阻率模型; (b)密度模型; (c)磁化率模型

聯(lián)合反演綜合解釋剖面圖

(a)地表地質(zhì)圖；(b)推測(cè)的地下地層分布圖

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本書可作為高等院校地球物理專業(yè)教材，也可作為從事相關(guān)領(lǐng)域工作的科研人員和工程技術(shù)人員的參考書。

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本文摘自科學(xué)出版社2024年12月出版《地球物理反演理論、算法及應(yīng)用》一書，內(nèi)容有刪節(jié)。標(biāo)題為編者所加。

（本文編輯：焦健

jiaojian@mail.sciencep.com）

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