古老難題的由來(lái)

多項(xiàng)式方程是現(xiàn)代科學(xué)的基礎(chǔ)工具。這類方程由變量的冪次項(xiàng)組成，例如二次方程 x2 + 4x - 3 = 0。在天體運(yùn)動(dòng)、工程計(jì)算、計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)等多個(gè)領(lǐng)域，它們都發(fā)揮著不可或缺的作用。

早在四千多年前，巴比倫人就已經(jīng)通過(guò)“配方法”掌握了求解二次方程的方法，這一方法后來(lái)演化成現(xiàn)代學(xué)生熟知的二次求根公式。到了16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們用類似方法，進(jìn)一步找到了三次方程和四次方程的求解方式，只不過(guò)涉及其中的求根公式愈發(fā)復(fù)雜，包含平方根和立方根。

1832年，數(shù)學(xué)家伽羅瓦（évariste Galois）證明了對(duì)于五次及更高次的一般多項(xiàng)式方程，不存在像低次多項(xiàng)式方程那樣的根式通解。這一突破性工作，催生了伽羅瓦理論，也使得“求根公式”這一設(shè)想止步于四次方程。

自此之后，對(duì)高次多項(xiàng)式的求解主要轉(zhuǎn)向近似解，這類方法雖然在實(shí)際應(yīng)用中被廣泛采用，但本質(zhì)上脫離了“純代數(shù)”范疇。

而如今，在一項(xiàng)新的研究中，數(shù)學(xué)教授Norman Wildberger與計(jì)算機(jī)科學(xué)家Dean Rubine家提出了一種基于數(shù)列的新方法，來(lái)解決代數(shù)中最古老的挑戰(zhàn)——求解高次多項(xiàng)式。

無(wú)理數(shù)與根號(hào)帶來(lái)的困擾

Wildberger指出，傳統(tǒng)方法之所以在求解高次多項(xiàng)式方程時(shí)面臨困難，是因?yàn)檫@些方法依賴于根式的表達(dá)，這些根式往往對(duì)應(yīng)的是無(wú)理數(shù)，也就是說(shuō)：這些數(shù)的小數(shù)部分無(wú)限延伸、沒(méi)有重復(fù)，也不能用分?jǐn)?shù)準(zhǔn)確表示。例如√2、?7等都是無(wú)理數(shù)。這意味著，如果我們?cè)诠街袑?xiě)?7，實(shí)際上我們是假定這個(gè)無(wú)限的小數(shù)是某種“完整的對(duì)象”，這在邏輯上是值得懷疑的。

因此，Wildberger提出了“不要相信無(wú)理數(shù)”的口號(hào)。他認(rèn)為，無(wú)理數(shù)依賴于一個(gè)不精確的“無(wú)限”概念，會(huì)導(dǎo)致諸多數(shù)學(xué)中的邏輯問(wèn)題。這一數(shù)學(xué)哲學(xué)后來(lái)激發(fā)他發(fā)展出“有理三角學(xué)”、“通用雙曲幾何”等理論體系，這些理論依賴的是加法、平方等可計(jì)算函數(shù)，而非無(wú)理數(shù)、根號(hào)、三角函數(shù)等。

在這項(xiàng)研究中，他延續(xù)了這一思路：與其接受根式那種永無(wú)止境、無(wú)法精確表示的計(jì)算方式，不如另辟蹊徑，用一種更直接的“不斷求和”方法來(lái)應(yīng)對(duì)高次多項(xiàng)式的求解。

為了繞開(kāi)根號(hào)與無(wú)理數(shù)，Wildberger和Rubine采用了多項(xiàng)式的擴(kuò)展——冪級(jí)數(shù)。冪級(jí)數(shù)是一個(gè)由無(wú)窮多個(gè)冪次項(xiàng)組成的表達(dá)式，常見(jiàn)于組合數(shù)學(xué)與幾何問(wèn)題中。通過(guò)對(duì)冪級(jí)數(shù)進(jìn)行適當(dāng)“截?cái)唷?，他們可以獲得近似的數(shù)值解，從而驗(yàn)證方法的有效性。

“晶洞”：來(lái)自卡塔蘭數(shù)的靈感

這項(xiàng)新研究的核心突破來(lái)自對(duì)卡塔蘭數(shù)這一組合學(xué)中的經(jīng)典數(shù)列的重新審視。在數(shù)學(xué)中，卡塔蘭數(shù)描述的是將一個(gè)多邊形劃分為不重疊的三角形的方式數(shù)量。它們被廣泛應(yīng)用于算法設(shè)計(jì)、RNA折疊計(jì)算等領(lǐng)域。

數(shù)學(xué)上已知，卡塔蘭數(shù)本質(zhì)上與二次方程密切相關(guān)。受此啟發(fā)，數(shù)學(xué)家Wildberger和Rubine想了一個(gè)大膽的問(wèn)題：如果我們不僅切成三角形，還允許切成四邊形、五邊形呢？能不能找到一種更通用的方法來(lái)數(shù)這些可能性？

他們的最新研究將卡塔蘭數(shù)從傳統(tǒng)的一維數(shù)列推廣為一個(gè)多維數(shù)組，用來(lái)描述將多邊形劃分為任意形狀組合的各種方式。更重要的是，他們發(fā)現(xiàn)這些組合所對(duì)應(yīng)的“生成級(jí)數(shù)”竟然可以構(gòu)造出一個(gè)解決任意一元多項(xiàng)式方程的新框架。這意味著，即便是代數(shù)學(xué)上被認(rèn)為無(wú)法通過(guò)根式求解的五次方程，也可能在這種新方法中獲得解的表達(dá)。

在這個(gè)過(guò)程中，研究者還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)出人意料的新結(jié)構(gòu)，并稱之為“晶洞”（Geode）。它像是一張隱藏在卡塔蘭數(shù)背后的結(jié)構(gòu)藍(lán)圖，揭示了卡塔蘭數(shù)及其高階擴(kuò)展之間深層的數(shù)學(xué)聯(lián)系。

Wildberger 認(rèn)為，他們只是揭開(kāi)了“晶洞”這個(gè)結(jié)構(gòu)的冰山一角。晶洞不僅可以在邏輯上為探索多項(xiàng)式方程的通解方法提供了新路徑，而且它們本身也成為組合數(shù)學(xué)領(lǐng)域中亟待探索的新對(duì)象。

#參考來(lái)源：

https://www.unsw.edu.au/newsroom/news/2025/05/mathematician-solves-algebras-oldest-problem-using-intriguing-new-number-sequences

https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2025.2460966

#圖片來(lái)源：

封面圖&首圖：WaveGenerics / Pixabay