一、題目

一副三角板如圖方式擺放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB=∠BCD=90°，∠A=60°，∠CBD=45°，E為AB的中點，過點E作EF⊥CD于點F.若AD=4cm，則EF的長為_______cm

二、分析與解答

這道題很簡單，只要方向正確，秒解.

本題條件很簡單，兩個特殊三角形，一個中點，一條線段長，一條垂線段.

由特殊三角形可以得出兩個三角形所有邊的長度

AB=8，DB=4√3，BC=CD=2√6

由中點能想到中線、中位線，可以把EF構造成梯形的中位線，也可以構造兩個特殊三角形的中線或中位線，以下就從這兩個角度給出三種解法.

解法一：構造梯形中位線

如圖，過點A作AG⊥CD，交CD延長線于點G

則△ADG為等腰直角三角形，∴AG=2√2

∴EF=(AG+BC)/2=(√2+√6)cm

解法二：構造三角形的中線和中位線

如圖，取BD中點G，連接EG、CG

EG是△ABD的中位線，CG是△BCD斜邊上的中線

∴EG=1/2AD=2，CG=1/2BD=2√3，∠BGE=∠BGC=90°

∴∠BGE+∠BGC=180° ∴C、G、E三點共線，CE=2+2√3

易證△CEF為等腰直角三角形

∴EF=CE/√2=(√2+√6)cm

這種解法容易犯的錯誤是，直接認為C、G、E三點共線，或連接CE就直接認為G是中點，如果是解答題，這里是必須要證明后才能用的.

解法三：連中線證全等或垂直平分

如圖，連接DE、CE

可以通過證全等或由線段垂直平分線的判定，得出△CEF是等腰直角三角形

進而得出 EF=CE/√2=(√2+√6)cm

三、小結

1、中點是填空壓軸中經常會遇到的已知條件，通常會用來構造特殊三角形的中線或中位線，也有時會構造8字全等（倍長中線）或A字相似.

2、含30°角和45°角的直角三角形是最特殊的直角三角形，三邊關系要熟練掌握，可通過記三邊關系來記特殊角的三角函數值，也可以通過特殊角的三角函數值來記三邊關系.

3、定理的名稱：三線合一與垂直平分線的判定，前者課本上給的其實就是“三線合一”，但中考題、模擬題答案通常都是“等腰三角形的三線合一”，后者習慣上叫垂直平分線的判定，但應該叫“線段垂直平分線的判定”，課本定理藍字部分標注了“線段垂直平分線的性質”，判定雖然沒用藍字標出，但也應該加上線段兩字，對應角平分線.