山西
一、題目
如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD=90°，對角線AC、BD相交于點O，若AB=AC=5，BC=6，∠ADB=2∠CBD，則AD的長為_______.
二、分析與解答
題目所給條件中，最特別的有兩個：等腰和二倍角，由等腰容易想到作底邊上的中線，由二倍角容易想到作角平分線，把這兩個最容易想到的輔助線作出來，就得到了第一種方法.
解法一：過點A作AE⊥BC于點E，交BD于點G，過點D作DF⊥AE于點F.（此處作的是垂線，作角平分線也可以，看個人習慣與喜好）
易證△ADF≌△GDF≌GBE ∴AF=FG=EG=1/3AE=4/3
又DF=CE=1/2BC=3，由勾股定理可得AD=√97/3
二倍角除了作角平分線外，還可以想到構造等腰三角形頂角的外角，于是就有了第二種方法.
解法二：過點A作AE⊥BC于點E，分別延長AD、BC，交于點F.
由∠ADB=2∠DBC和∠ADB=∠DBC+∠DFC，可得∠DBC=∠DFC
∠ADB正好是等腰△DBF頂角的外角
AE=4，CE=3，CF=BC=6
△FDC∽△FAE，DC/AE=FC/FE=6/9=2/3
DC=2/3AE=8/3，DF=2√97/3，AD=√97/3
由二倍角還能想到把小角加倍構造等角.
解法三：過點A作AE⊥BC于點E，交BD于點G，過點B作BF//AD，交AE延長線于點F
易證△BGF≌△DGA，EG=1/2FG=1/2AG
3EG=4，EG=4/3，BE=3，BG=√97/3=BF=AD
BF也可以與DC延長線相交
證法類似，不再贅述.
解法四：構造豬蹄模型
過點A作AE⊥BC于點E，AF⊥CD，交CD延長線于點F
易證△ADF∽△BDC，且相似比為1：2
∴DF=1/3AE=4/3，AF=CE=3，AD=√97/3
三、小結
二倍角算是比較常見的類型，在中考模擬題中經常出現，比如2025金標卷中就曾出現過.
以下是幾種常見的處理方法：
1、平分大角，作二倍角的平分線
2、等腰外角，構造等腰三角形頂角的外角
3、加倍小角，把一倍角翻倍
4、豬蹄模型，構造豬蹄型上下相似
分別對應本題的四種解法.
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