積分變換在近兩百年的時間里已被成功應用于解決應用數學、數學物理學以及工程科學中的諸多問題。

01

Laplace變換與Fourier變換

從歷史角度來看，包括拉普拉斯變換和傅里葉變換在內的積分變換的起源可以追溯到18世紀80年代拉普拉斯（1749-1827）在概率論方面的杰出研究成果，以及1822年傅里葉（1768-1830）所著的《熱的解析理論》這一具有里程碑意義的著作。實際上，拉普拉斯的經典著作《概率分析理論》包含了拉普拉斯變換的一些基本結果，這是數學文獻中現存最古老且最常用的積分變換之一。這種變換已被有效地用于求解線性微分方程和積分方程。

另一方面，傅里葉的著作提供了現代數學中關于熱傳導、傅里葉級數和傅里葉積分及其應用的理論。在他的著作中，傅里葉提出了一個廣為人知的驚人結果，即所謂的傅里葉積分定理。在陳述這一結果之前，他給出了一系列示例，說明在有限區間上定義的任意函數都可以用三角級數來展開，這現在被普遍稱為傅里葉級數。為了將他的新想法推廣到定義在無限區間上的函數上，傅里葉發現了一種積分變換及其逆變換公式，現在它們被公認為傅里葉變換和逆傅里葉變換。

然而，傅里葉的這一著名思想被拉普拉斯和柯西（1789-1857）所知曉，由于他們的一些早期工作涉及了這種變換。另一方面，泊松（1781-1840）也在研究水波傳播時獨立地使用了變換方法。然而，是萊布尼茨（1646-1716）首次在微積分中引入了符號方法（symbolic method）這一概念。隨后，拉格朗日（1736-1813）和拉普拉斯也對符號方法做出了重大貢獻，這些方法后來被稱為運算微積分（operational calculus）。盡管拉普拉斯變換和傅里葉變換都是在19世紀被發現的，但英國電氣工程師海維賽德（1850-1925）通過將其用于解決電路和系統的普通微分方程，并進而發展出現代運算微積分，使拉普拉斯變換變得非常流行。

Fourier變換表達式： Laplace變換表達式：

有必要指出的是，拉普拉斯變換本質上是傅里葉變換作用于一類定義在正實軸上的函數的特殊情況，但它比傅里葉變換更簡單。首先，由于其指數衰減核 ，其中 ，拉普拉斯變換的收斂性問題要簡單得多。其次，拉普拉斯變換是復變量的解析函數，其性質可以通過復變函數理論更方便地研究。最后，傅里葉積分公式通過一個復數路徑積分的形式，給出了拉普拉斯變換和逆拉普拉斯變換的定義，這個積分可以通過柯西留數定理以及在復平面中對路徑的變形來求解。

而柯西的工作中包含了Fourier積分定理的指數形式 不僅如此，柯西還給出了關于算子 所對應函數的公式 這在本質上導致了運算微積分的現代形式。

他著名的論文《方程符號的使用備忘錄》提供了對符號方法的嚴格描述。傅里葉積分定理的深刻意義被19世紀和20世紀的數學家和數學物理學家所認識。確實，這一定理被視為現代數學分析中最基本的結果之一，并在物理學和工程學中有廣泛的應用。開爾文和泰特很好地闡述了該定理的普遍性和重要性，他們說：“……傅里葉定理不僅是現代分析中最優美的成果之一，而且可以說為處理現代物理學中幾乎所有深奧問題提供了不可或缺的工具。僅以聲振動、電信號沿電報線的傳播以及地殼的熱傳導為例，若不借助此定理，這些問題在普遍性上將難以處理，而這只是對其重要性的一種微弱表達。”

02

運算微積分的發展

19世紀末期，海維賽德認識到運算微積分的力量和成功，并首次將運算方法作為解決電報方程和常系數二階雙曲型偏微分方程的強大有效工具。他在1892年和1893年發表于倫敦《皇家學會會刊》的兩篇題為《物理數學中的運算方法》的論文中發展了運算方法。他1899年關于《電磁理論》的著作也包含了運算方法在電路或網絡分析中的應用。海維賽德用 代替微分算子，并將其視為普通代數法則中的元素。他的運算方法的發展很少關注數學嚴謹性問題。在海維賽德的方法通過傅里葉或拉普拉斯變換理論得到驗證之前，其廣泛使用引發了許多爭議。

這與20世紀20年代狄拉克在量子力學的邏輯表述中廣泛使用 函數作為最有用的數學工具所引發的爭議類似。事實上，狄拉克（1902-1984）曾說：“所有電氣工程師都熟悉脈沖的概念，而 函數只是用數學表達脈沖的一種方式。”狄拉克對赫維賽德在電磁理論中運算微積分的研究，他作為電氣工程師的訓練，以及對電脈沖現代理論的深刻理解，似乎對他巧妙發展現代量子力學產生了巨大影響。

顯然，運算方法的思想源自拉普拉斯、傅里葉和柯西的經典工作。受到這一卓越成果的啟發，海維賽德發展了他新穎但嚴謹性不足的運算數學。盡管海維賽德的微積分作為最有用的數學方法之一取得了驚人成功，但由于缺乏數學嚴謹性，同時代的數學家在他生前幾乎不認可他的工作。在海維賽德誕辰一百周年紀念會上關于海維賽德與運算微積分的演講中，庫珀揭示了圍繞海維賽德著名工作的一些爭議性問題，并宣稱：“作為數學家，他具有非凡的計算技巧和發現便捷計算方法的天賦。他極大地簡化了麥克斯韋理論，根據赫茲的說法，被稱為麥克斯韋方程的四個方程首先是由海維賽德給出的。他是向量分析的奠基人之一……”

回顧海維賽德的微積分的歷史，庫珀對這一主題的早期歷史進行了相當完整的敘述，同時記錄了數學家們對海維賽德的貢獻的不同觀點。根據庫珀的說法，關于運算微積分由海維賽德發現的廣為流傳的說法仍存在爭議。盡管存在爭議，人們普遍認為海維賽德的真正成就是發展了運算微積分，這是應用數學、數學物理學和工程科學中最有用的數學工具之一。在此背景下，瑞利的以下引述從物理學角度來看似乎最為貼切：“在數學研究中，我通常采用那些對物理學家來說自然而然的方法。純粹數學家會抱怨（必須承認有時是合理的）嚴謹性不足。但這個問題有兩面性。因為，盡管在純粹數學中保持統一的高標準很重要，但物理學家有時可以滿足于從他們的角度來看相當令人滿意和具有結論性的論證。對于習慣于不同思維方式的物理學家來說，純粹數學家更嚴格的程序可能顯得不那么具有說服力。此外，在許多困難情況下，堅持最高標準將意味著由于所需的空間而完全排除該主題。”

“……To his mind, exercised in a different order of ideas, the more severe procedure of the pure mathematician may appear not more but less demonstrative. And further, in many cases of difficulty to insist upon highest standard would mean the exclusion of the subject altogether in view of the space that would be required.”

除了一小部分純粹數學家外，所有人都認為海維賽德的工作是一項非凡成就，盡管他未能為他的運算微積分提供嚴格的證明。為海維賽德辯護時，費曼的觀點值得引用：“然而，重點應該更多地放在如何快速簡便地進行數學運算，以及哪些公式是正確的，而不是數學家對嚴格證明方法的興趣。”

03

對運算微積分的評價

運算微積分的發展在某種程度上類似于17世紀微積分的發展。發明微積分的數學家們當時也未能提供嚴格的表述。嚴格的表述直到19世紀才出現，盡管在過渡期間，那些非嚴格的微積分演示仍然令人欽佩。眾所周知，20世紀的數學家們為海維賽德的運算微積分提供了嚴格的基礎。因此，無論從哪個標準來看，海維賽德都因其卓越工作而值得高度贊譽。

運算微積分發展的下一階段特征是通過嚴格證明來驗證啟發式方法。在這一階段，布羅姆維奇（1875-1930）首次成功引入復變函數理論，為海維賽德的微積分提供了正式證明。除了對該主題的諸多貢獻外，他還給出了海維賽德展開定理的正式推導，并正確解釋了海維賽德的運算結果。現代方法通過拉普拉斯變換和廣義函數理論（）為海維賽德的運算微積分提供了嚴謹支撐。

在結束關于運算微積分歷史發展的討論時，我們需要謹慎對待海維賽德的工作的爭議性評價。從應用數學的角度來看，海維賽德的運算微積分是一項重要成就。為支持這一觀點，以下是E. T. Whittaker在海維賽德訃告中對其工作的評價：“回顧歷史……我們應當將運算微積分與龐加萊對自守函數的發現、里奇對張量計算的發現并列為19世紀最后25年三大最重要的數學進展。”盡管海維賽德很少關注數學嚴謹性問題，但他認識到運算微積分是應用數學科學中最有效、最有用的數學方法之一，這自然引出了對積分變換的嚴格數學分析。事實上，基于嚴格數學基礎的傅里葉變換或拉普拉斯變換方法，本質上等同于現代運算微積分。

04

其他的積分變換

還有許多其他積分變換，包括Mellin變換、Hankel變換、Hilbert變換和Stieltjes變換，這些變換被廣泛用于求解涉及常微分方程和偏微分方程的初邊值問題，以及數學、科學和工程中的其他問題。雖然梅林（1854-1933）對其變換及其反演公式進行了詳細討論，但黎曼（1826-1866）在其關于素數的著名論文中最早認識到Mellin變換及其反演公式。黎曼的學生赫爾曼·漢克爾（1839-1873）引入了以貝塞爾函數為核的Hankel變換，當假設具有圓對稱性時，該變換可以很容易地從二維Fourier變換導出。Hankel變換在求解柱坐標下的邊值問題時自然出現。

雖然希爾伯特變換以二十世紀最偉大的數學家之一大衛·希爾伯特（1862-1943）命名，但該變換及其性質主要由哈代（1877-1947）和愛德華·蒂奇馬什（1899-1963）進行研究。荷蘭數學家斯蒂爾杰斯（1856-1894）在研究連分數時引入了斯蒂爾杰斯變換。希爾伯特變換和斯蒂爾杰斯變換都出現在數學、科學和工程的許多問題中。前者用于解決流體力學、信號處理和電子學中的問題，而后者則用于求解積分方程和矩問題。

最后，我們要對Radon變換、Gabor變換和小波變換的歷史做些說明。Radon變換由奧地利數學家約翰·拉東（1887-1956）于1917年提出，該理論最初屬于純數學研究，直到20世紀中葉才在醫學成像、地球物理學和計算機視覺等領域展現出重要應用價值。醫學CT（計算機斷層掃描，Computed Tomography）的核心數學基礎就是Radon變換及其逆變換。Gabor變換由匈牙利物理學家丹尼斯·加博爾（1900-1979）于1946年提出，最初用于改進電子顯微鏡的分辨率，并因此貢獻獲得1971年諾貝爾物理學獎。Gabor變換在語音識別、圖像處理、神經科學和量子力學等領域有廣泛應用。例如，在音頻信號分析中，它能夠精確刻畫聲音的時頻特性；在計算機視覺中，Gabor濾波器被用于紋理分析和人臉識別。作為時頻分析的奠基性工作之一，Gabor變換為后續小波變換的發展提供了重要啟示，至今仍是信號處理領域的核心方法。小波變換由法國地球物理工程師讓·莫萊發現，作為一種新的數學工具用于研究1982年的地震信號分析。它是最通用的線性積分變換之一，可用于解決數學、科學和工程中的各種問題。

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總結

積分變換的核心思想是通過數學上的“變換”將原問題映射到一個新的空間（通常稱為變換域），在這個空間中，原問題的求解或分析變得更加簡單或直觀。積分變換的一般形式為： 其中 是核函數，決定了變換的性質。以Laplace變換或Fourier變換為例，可以實現將原問題中的微分、積分、卷積等復雜運算轉化為變換域中的代數運算（如乘法、加法）。它通過分部積分將微分算子轉移到核函數上，而指數函數是微分算子的特征函數，所以用指數核作變換時，微分運算自然表現為特征值的乘法。這也是之前一期文章中提到的關于自然常數e及以e為底的指數函數的作用。

注：本文翻譯自Lokenath Debnath和Dambaru Bhatta所寫的教材《Integral Transforms and Their Applications》，同時補充一些例子和略作修改。

來源：數學經緯網

編輯：亦山

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