化繁為簡的局域化方法

2025-06-23 10:22:01　來源: 中國物理學(xué)會期刊網(wǎng)

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|作者：張欣宇

(浙江大學(xué)物理學(xué)院浙江近代物理中心)

本文選自《物理》2025年第6期

摘要量子場論的微擾論方法在解釋物理學(xué)中的許多重要現(xiàn)象時面臨失效的困境，而目前尚沒有分析非微擾效應(yīng)的一般理論框架。超對稱的引入為突破這一瓶頸提供了關(guān)鍵路徑。局域化方法充分利用超對稱的特性，將無窮維泛函積分約化為方便處理的有限維積分、離散求和或矩陣積分，成為非微擾計算的核心工具。文章簡要介紹局域化方法的基本思想，梳理該方法的發(fā)展脈絡(luò)，揭示其在物理與數(shù)學(xué)交叉領(lǐng)域的深遠(yuǎn)影響。

關(guān)鍵詞局域化，超對稱，非微擾效應(yīng)

引言

20世紀(jì)初，伴隨著相對論與量子力學(xué)的誕生，物理學(xué)的發(fā)展開啟了嶄新的一頁。作為狹義相對論與量子力學(xué)完美融合的產(chǎn)物，量子場論被廣泛應(yīng)用于粒子物理學(xué)、核物理學(xué)、凝聚態(tài)物理學(xué)、宇宙學(xué)等各個領(lǐng)域，取得了一系列令人矚目的成功。

對于絕大多數(shù)量子場論系統(tǒng)，關(guān)聯(lián)函數(shù)或散射振幅等物理量都無法精確地求解。針對這樣的處境，物理學(xué)家們有歷史悠久的傳統(tǒng)，即利用微擾論的框架，將拉格朗日量分解為“可嚴(yán)格求解”的部分和“擾動”的部分，物理量的理論預(yù)言表達(dá)為漸近冪級數(shù)的形式。對于量子場論，原則上這一級數(shù)的各項都可以通過費曼圖進(jìn)行計算。事實上，這種傳統(tǒng)方法在處理許多問題時與實驗結(jié)果驚人地一致，量子場論也因此被普遍認(rèn)為是物理學(xué)史上最成功、最精確的理論之一。

遺憾的是，微擾論的方法并非是萬能的，尤其是當(dāng)物理現(xiàn)象涉及強(qiáng)耦合過程、相關(guān)物理量缺乏合適的展開參數(shù)或真空包含復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)時，微擾論方法不再有效。著名的例子包括夸克禁閉現(xiàn)象、強(qiáng)子質(zhì)量來源、分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)等。為了揭示這些現(xiàn)象背后的物理機(jī)理，必須發(fā)展超越傳統(tǒng)方法的非微擾理論框架。這是當(dāng)前理論物理研究的一個核心挑戰(zhàn)。針對一些特殊情況，人們發(fā)展出了可積性[1]、自舉[2]、復(fù)現(xiàn)[3]等多種方法，但到目前為止依然沒有在普適性和可操作性上同時滿足需求的理論框架。

不過理論物理學(xué)家們并沒有就此止步不前。人們很早就發(fā)現(xiàn)，當(dāng)量子場論額外具有超對稱時，問題往往呈現(xiàn)出簡化的結(jié)構(gòu)。不同于已經(jīng)在自然界中被發(fā)現(xiàn)的其他對稱性，超對稱構(gòu)建了玻色子與費米子之間的聯(lián)系。超荷(也即超對稱的生成元)之間的代數(shù)結(jié)構(gòu)通過反對易子而非通常的對易子加以描述。超對稱量子場論比一般量子場論更易求解的根源來自兩個方面：(1)在很多問題中，配對成超對稱伙伴的玻色態(tài)與費米態(tài)的貢獻(xiàn)相互抵消，使得微擾計算比通常的情況簡單得多；(2)與此同時，超對稱對受其保護(hù)的物理量允許的非微擾效應(yīng)的類型形成嚴(yán)格約束，對應(yīng)的場構(gòu)型所滿足的方程往往從通常的二階偏微分方程簡化為一階偏微分方程。這種源自于超對稱代數(shù)結(jié)構(gòu)的簡化最終引導(dǎo)研究者提出和發(fā)展了在超對稱理論中的局域化方法。在路徑積分表述中，其效果在于將原本無窮維的泛函積分問題約化為有限維的普通積分或離散求和，實現(xiàn)了量子場論中的“降維打擊”。在此過程中，冗余變量被高效“過濾”，僅保留了對于理解強(qiáng)耦合狀態(tài)下的物理現(xiàn)象起關(guān)鍵作用的信息。由此得到的結(jié)論，為人們進(jìn)一步理解描述現(xiàn)實世界的、不具備超對稱的量子場論系統(tǒng)提供了指引。

局域化方法還成為了連接物理學(xué)與數(shù)學(xué)的重要橋梁。事實上，在過去的幾個世紀(jì)中，物理學(xué)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系更多是單向的：物理學(xué)家從數(shù)學(xué)中汲取養(yǎng)分，將數(shù)學(xué)作為研究中不可或缺的工具，而數(shù)學(xué)家哪怕在研究源自物理的重要數(shù)學(xué)問題時往往也無需理解問題背后的物理根源。但在超對稱理論的舞臺上，物理學(xué)與數(shù)學(xué)基于局域化方法得到的結(jié)果發(fā)生了緊密互動，有趣的思想在雙方之間雙向流動，這種互動催生了物理學(xué)家與數(shù)學(xué)家之間和諧且碩果累累的合作關(guān)系。

在本文中，我們將介紹超對稱理論中局域化方法的基本思想和發(fā)展歷程。需提醒讀者的是，本文的內(nèi)容顯然無法囊括局域化方法的方方面面，感興趣的讀者應(yīng)深入研究相關(guān)文獻(xiàn)[4—6]。

局域化思想

局域化思想源自1926年Lefschetz 的工作[7]，后經(jīng)Duistermaat、Heckman、Atiyah、Bott、Berline、Vergne等數(shù)學(xué)家的不斷發(fā)展和推廣[8—10]，被廣泛應(yīng)用于幾何和拓?fù)涞难芯恐小Ｔ诒竟?jié)中，我們將通過構(gòu)造一個具體的簡單例子，闡述局域化為何會發(fā)生。

我們以著名的高斯積分作為出發(fā)點，

通過變量替換可以得到以下公式：

此處

s

)是關(guān)于變量

的任意函數(shù)，而

s′

)是它的導(dǎo)數(shù)。為了簡化討論，我們已假設(shè)在每個解處

s′

a )≠0。計數(shù)的結(jié)果是一個整數(shù)，它可以看作是對方程

s

)=0的解進(jìn)行帶符號的計數(shù)，或是函數(shù)

s

)的圖像與軸線

s

=0的定向相交數(shù)。

這個公式有兩個非同尋常的重要特點。一方面，等式左邊包含可以連續(xù)變化的參數(shù)

，但等式右邊的結(jié)果與

無關(guān)。如果我們能夠預(yù)先知道這一性質(zhì)，那么就可以在

→0的極限下使用鞍點近似法計算這個積分。不同于通常情況，此時這個近似計算的結(jié)果事實上是精確的，無需引入更多的高階修正項。另一方面，雖然等式左邊的被積函數(shù)依賴于

s

) 在所有點的值，但等式右邊卻并沒有表現(xiàn)出這種依賴性，最終結(jié)果只依賴于

s

) 在所有零點附近無窮小區(qū)間內(nèi)的行為。這種看似依賴于對象整體細(xì)節(jié)、實則完全取決于特定局部的粗略性質(zhì)的現(xiàn)象，被稱作“局域化”。

顯然我們并不能滿足于發(fā)現(xiàn)了一個看似很特殊的公式。為了深刻挖掘局域化現(xiàn)象的根源，我們將對積分進(jìn)行進(jìn)一步改寫。將引入變量

B

，以及滿足反對易關(guān)系的格拉斯曼數(shù)

。不同于通常的數(shù)，每個格拉斯曼數(shù)

滿足如下積分規(guī)則：

其中

a

b

是通常的數(shù)。利用新引入的變量，可以將積分重新寫為

如此改寫的收獲在于積分中出現(xiàn)了一個新的對稱性——超對稱。其對稱性生成元

Q

的作用連接了對易變量(玻色子)和反對易變量(費米子)，

與此同時，可以將“作用量”

S

表達(dá)為

我們不妨考慮原積分的一類連續(xù)變形，

由于

Q

2 =0，這類變形后的積分結(jié)果不依賴于參數(shù)

t

其中我們假設(shè)了積分測度在超對稱變換下不變，以及分步積分帶來的邊界項貢獻(xiàn)為零。特別地，之前觀察到的

Z

不依賴于參數(shù)

的現(xiàn)象可以通過取

V

χB

給出合理的解釋。在

→0的極限下，

S

B

的平方項消失而

B

的線性項依然存在，此時對

B

的積分正是狄拉克

函數(shù)。這使得積分結(jié)果自然地出現(xiàn)局域化現(xiàn)象，

這個簡單的例子給我們的啟示在于，通過對高斯積分的一系列改寫并引入超對稱，可以推導(dǎo)出一類特殊的積分。此類積分的最終結(jié)果不依賴于連續(xù)參數(shù)，且表現(xiàn)出局域化現(xiàn)象。這個結(jié)果的普適性在于函數(shù)

s

)選取的任意性。當(dāng)然，此處的討論只是將一維的普通積分化簡為零維的離散求和，在物理中我們需要將其推廣至無窮維的泛函積分，但基本思路不變。

上同調(diào)場論

局域化方法在量子場論中的應(yīng)用起始于上同調(diào)場論(cohomological field theory, CohFT)。這是拓?fù)淞孔訄稣撝兄陵P(guān)重要的一大類，它一方面為數(shù)學(xué)中低維流形拓?fù)渑c幾何的眾多研究結(jié)果提供了統(tǒng)一視角，另一方面顯著深化了我們對超對稱量子場論的理解，并有望為弦論帶來新見解。它的核心特征在于將某個滿足

Q

2 =0的超荷

Q

視為Becchi—Rouet—Stora—Tyutin(BRST)算符，并由此要求希爾伯特空間中的物理態(tài)|

>滿足

Q

> =0，且兩個物理態(tài) |

> 和 |

Q

>被認(rèn)為是等價的態(tài)。從數(shù)學(xué)上看，

Q

的上同調(diào)描述了物理態(tài)的全體等價類。如果將理論定義在彎曲時空背景上，使得作用量和能量—動量張量滿足：

S

Q

} ,

T

μν={

Q

U

μν} ,

其中

U

μν可以依賴于量子場和度規(guī)，那么配分函數(shù)僅依賴于理論所處空間的全局特性，而不隨度規(guī)的連續(xù)變化而改變。更進(jìn)一步，存在一大類關(guān)聯(lián)函數(shù)，它們也不依賴于度規(guī)。這樣的結(jié)果意味著，即使不像量子引力理論那樣對度規(guī)進(jìn)行積分，物理可觀測量也可以獨立于理論所使用的度規(guī)，從而在量子理論中實現(xiàn)廣義協(xié)變性。類似的，物理可觀測量也不依賴于

中含有的連續(xù)變化的參數(shù)。這使得我們可以對它進(jìn)行恰當(dāng)變形，使得路徑積分的貢獻(xiàn)局域到滿足特定方程的場構(gòu)型上，從而簡化計算。

3.1　超對稱量子力學(xué)中的Witten指標(biāo)

我們首先回顧超對稱量子力學(xué)的基本概念。超對稱量子力學(xué)是指滿足以下形式的哈密頓量系統(tǒng)：

其中

Q

滿足

Q

2 =0且與哈密頓量相互對易，是

Q

的共軛。能以此形式表達(dá)的哈密頓量具有許多特殊性質(zhì)。

首先，一般量子力學(xué)系統(tǒng)對于能級并無限制，但在超對稱量子力學(xué)中，任意量子態(tài)的能量期望值必然非負(fù)，

一個量子態(tài)是零能態(tài)的充分必要條件是它同時被

Q

和湮滅。

其次，在沒有額外對稱性的情況下，我們并不預(yù)期量子力學(xué)系統(tǒng)會發(fā)生簡并。但在超對稱量子力學(xué)系統(tǒng)中，簡并普遍存在：對于任意

E

>0能級的能量本征態(tài)|

Q

> 是處于相同能級的另一個能量本征態(tài)。引入費米子數(shù)算符

F

，滿足：

我們將(-1)

F

=1的態(tài)稱為玻色態(tài)，(-1)

F

=-1的態(tài)稱為費米態(tài)。

E

>0能級的玻色態(tài)與費米態(tài)總是相互兩兩配對的(圖1)。

圖1 超對稱量子力學(xué)中各能級玻色態(tài)和費米態(tài)分布示意圖。其中

E

>0能級的玻色態(tài)與費米態(tài)數(shù)量一定相同，但玻色零能態(tài)和費米零能態(tài)數(shù)量可以不同

由之前的討論可知，如果一個超對稱量子力學(xué)系統(tǒng)具有零能態(tài)，那么它一定是系統(tǒng)的基態(tài)，此時稱超對稱是未破缺的；反之，如果系統(tǒng)的基態(tài)能量為正，那么稱超對稱是破缺的。判斷系統(tǒng)的超對稱是否破缺，往往是分析超對稱系統(tǒng)首先需要回答的問題。對于一般的量子力學(xué)系統(tǒng)，我們很難判斷某個態(tài)的能量是否嚴(yán)格為零。在超對稱理論中，同樣未必能分別計數(shù)玻色零能態(tài)個數(shù)

n

E

=0和費米零能態(tài)個數(shù)

n

E

=0。

轉(zhuǎn)折出現(xiàn)在1982年，Witten仔細(xì)研究了超對稱量子力學(xué)的基態(tài) [11，12] ，并創(chuàng)造性地引入了新判據(jù)——Witten指標(biāo)，

其中求跡是對整個希爾伯特空間，但因為任意

E

>0能級的玻色態(tài)和費米態(tài)總是兩兩配對從而貢獻(xiàn)相互抵消，所以實際只有零能態(tài)才對Witten指標(biāo)有凈貢獻(xiàn)。由此可以看出Witten指標(biāo)不依賴于參數(shù)

。更進(jìn)一步，由于Witten指標(biāo)的結(jié)果是一個整數(shù)，且對理論的小擾動只可能使成對的玻色態(tài)和費米態(tài)同時從零能態(tài)變?yōu)榉橇隳軕B(tài)或從非零能態(tài)變?yōu)榱隳軕B(tài)，而玻色零能態(tài)的個數(shù)減去費米零能態(tài)的個數(shù)是不變的，因此Witten指標(biāo)獨立于理論中所有可連續(xù)變化的參數(shù)。正因如此，人們通常選取參數(shù)空間中的特殊點從而簡化Witten指標(biāo)的計算。

借助于Witten指標(biāo)，我們可以對超對稱是否破缺做出判斷：當(dāng)≠0時，系統(tǒng)一定存在零能態(tài)，超對稱未破缺；當(dāng)=0時，系統(tǒng)可能存在零能態(tài)也可能不存在，超對稱可能破缺也可能未破缺，但即使未破缺，通常也總可以找到適當(dāng)?shù)男_動使得超對稱被破缺。

Witten指標(biāo)可以認(rèn)為是上同調(diào)場論的第一個例子。以粒子在度規(guī)為

g

μν

的彎曲空間中運動且受到超勢

W

作用為例。其超對稱量子力學(xué)模型的作用量可以寫為

超對稱變換規(guī)則為

Witten指標(biāo)計算的正是所有場都滿足周期性邊界條件

)的路徑積分：

不難檢驗，它符合上同調(diào)場論的一般要求。根據(jù)以上討論得出的普遍規(guī)律，計算結(jié)果與參數(shù)

W

中的連續(xù)變化參數(shù)無關(guān)。我們只需在

→0的極限下進(jìn)行計算，這導(dǎo)致了路徑積分的局域化。最終結(jié)果可以表達(dá)為對微分方程d

W

=0的解進(jìn)行帶符號的計數(shù)，

Witten對超對稱量子力學(xué)的研究思路很快被人們用于證明Atiyah—Singer指標(biāo)定理 [13，14] ，并成為此后研究超對稱理論中受超對稱保護(hù)的物理量的模板。

3.2　高維超對稱量子場論的拓?fù)渑で?/strong>

Witten關(guān)于超對稱量子力學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的研究方法被Floer應(yīng)用于無限維空間，獲得了關(guān)于三維流形拓?fù)涞闹匾晒鸞15]。這一工作與Donaldson在四維光滑流形上發(fā)現(xiàn)的結(jié)果[16，17]存在深刻關(guān)聯(lián)。基于Atiyah的建議[18]，Witten在1988年指出[19]規(guī)范群為

SU

(2)的
N
=2超對稱楊—米爾斯理論在拓?fù)渑で罂梢员欢x在任意光滑四維流形上。簡單地說，
N
=2超對稱理論中的超荷
Q
αI 和由于是旋量，并不總能定義在彎曲四維流形上。拓?fù)渑で倪^程將四維洛倫茲群
SO
(3,1)?
SU
(1,1) - ×
SU
(2) + 中的
SU
(2)+子群與
R
對稱群
SU
R
等同起來，從而得到一個新的洛倫茲群
S
U
(1,1)-×
SU
。超荷被重新組織為
Q
Q
μν+和
Q
μ，其中
Q
成為了一個標(biāo)量，因此可以定義在一般彎曲四維流形上，同時滿足
Q
2=0。經(jīng)檢驗，此時得到的理論滿足上同調(diào)理論的一般要求，因此理論的配分函數(shù)和一大類關(guān)聯(lián)函數(shù)不依賴于耦合常數(shù)的大小和四維流形的度規(guī)。在紫外極限下，這些物理可觀測量對應(yīng)于Donaldson不變量。這一重要結(jié)果給出了Donaldson理論基于的四維相對論性拉格朗日量的詮釋，將三維與四維的成果聯(lián)系了起來。可惜的是，對于一般四維流形的Donaldson不變量的計算在數(shù)學(xué)上十分困難。1994年，基于Seiberg—Witten解 [20] 的結(jié)果和上同調(diào)理論中物理可觀測量獨立于度規(guī)的性質(zhì)，Witten提出可以在紅外極限下計算Donaldson不變量，并引入了更易處理的Seiberg—Witten不變量 [21] 。在1997年，Moore和Witten建立了
u
平面積分法 [22] ，為通過物理方法計算Donaldson不變量提供了切實可行的框架。
拓?fù)渑で牟僮鞑⒉豢偸悄敲春唵巍τ诟话愕?/p>
N
=2超對稱理論，定義拓?fù)渑で牟僮骺赡苄枰峁╊~外的信息 [23] 。而對于擁有最大超對稱的
N
=4超對稱楊—米爾斯理論，拓?fù)渑で姆绞讲⒉晃ㄒ弧３?blockquote id="3NN6C9QA">N=2理論本身的拓?fù)渑で猓€存在Vafa—Witten型拓?fù)渑で?[24] 和Kapustin—Witten型拓?fù)渑で?[25] ，分別對應(yīng)于Vafa—Witten不變量和幾何Langlands對偶等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究。
類似的思想還被廣泛用于對二維拓?fù)?/p>
模型 [26] 、拓?fù)淞孔右?[27，28] 、三維拓?fù)?blockquote id="3NN6C9QC">模型 [29] 等的研究，并在數(shù)學(xué)中打開了鏡像對稱、Rozansky—Witten不變量等方向的研究大門。
04
Omega背景

在上同調(diào)場論的框架建立之后，局域化方法適用范圍的一次關(guān)鍵性突破來自于Nekrasov在2002年關(guān)于四維
N
=2超對稱理論的研究[30]。這項工作的研究動機(jī)來自于Seiberg和Witten在1994年劃時代的工作[20，31]。基于超對稱的特性和電磁對偶等假設(shè)，規(guī)范群是
SU
(2)的四維
N
=2超對稱規(guī)范理論的低能有效理論被成功求解。例如對于
SU
(2)超對稱楊—米爾斯理論，低能有效作用量完全由全純函數(shù)給出，其中參數(shù)
a
描述了理論所處的真空態(tài)，
是動力學(xué)產(chǎn)生的能標(biāo)。在弱耦合區(qū)間，即參數(shù) |
a
|?|
| 的一個局部坐標(biāo)卡內(nèi)，
其中
c
k
是一系列被Seiberg—Witten解確定的有理數(shù)。通過電磁對偶變換，可以得到在參數(shù)空間中任意點的表達(dá)式。Seiberg和Witten的工作被迅速推廣到更多的超對稱理論和弦論中，并由此引發(fā)轟轟烈烈的第二次弦論革命。遺憾的是，這些進(jìn)展往往都依賴于各種難以證明的假設(shè)。

圖2 Omega背景的構(gòu)造方式：首先將在R4上的四維
N
=2超對稱理論提升為在R4×
S
1上的五維
N
=1超對稱理論，再修改五維時空度規(guī)的直積結(jié)構(gòu)使得(
z
1,
z
2,
5)～(ei
βε
1
z
1, ei
βε
2
z
2,
5+
)，其中
z
1,
z
2是R4?C2上的復(fù)坐標(biāo)，最后取
→0的極限回到四維理論
Nekrasov的工作提供了全新的思路。他對通常的四維平直時空R4做了變形，并成功將理論定義在變形后的時空背景上。這種時空背景被稱為Omega背景(圖2)，依賴于兩個參數(shù)
1、
2。Omega背景在
1=
2=0時恢復(fù)為R4，而在
1，
2≠0時實現(xiàn)了對非緊致空間R4的有效緊化，使得原本無窮大的時空體積變?yōu)橛邢拗?/(
1
2)。在Omega背景下，被用于局域化計算的超荷不再是拓?fù)淞孔訄稣撝械?blockquote id="3NN6C9RE">Q，而是
Q
Q
的特定線性組合
Q′
。不同于之前的情況，
Q′
2是繞時空原點的旋轉(zhuǎn)而不再是零。Nekrasov基于之前與Moore和Shatashvili的工作[32]，展示了如何應(yīng)用局域化方法對超對稱配分函數(shù)(通常被稱為Nekrasov配分函數(shù))和手征算符的關(guān)聯(lián)函數(shù)進(jìn)行嚴(yán)格計算[30]。計算結(jié)果是微擾部分和非微擾部分貢獻(xiàn)的乘積，其中微擾部分只涉及經(jīng)典結(jié)果和一階量子修正，而沒有更高階量子修正的影響，而非微擾部分可以表達(dá)為特定瞬子構(gòu)型的無窮離散求和。
計算得到的結(jié)果包含豐富的物理信息。首先，可以通過嚴(yán)格計算的Nekrasov配分函數(shù)直接提取出決定了低能有效作用量的：
此處我們略去了在R4上的理論本身依賴的參數(shù)。這個關(guān)系意味著在此框架中，Seiberg—Witten解來源于對臨界點的刻畫。這是目前已知的唯一嚴(yán)格求Seiberg—Witten解的方法。在實踐中，由于的具體表達(dá)式非常復(fù)雜，目前完成推導(dǎo)的只有早期解決的規(guī)范群是單一經(jīng)典李群[33，34]和只包含
SU
群的箭圖規(guī)范理論 [35] ，以及筆者于2019年解決的SO-USp箭圖規(guī)范理論 [36] 。如何將這一方法用于更多的理論是一個重要遺留問題。
其次，Nekrasov配分函數(shù)在
1,
2→0附近展開的更高階包含了低能有效理論如何與引力相互耦合的信息。通過這些信息，一方面可以對拓?fù)湎艺摰挠嬎?[37] 做出檢驗，另一方面也啟迪了人們在拓?fù)湎艺摰亩x中加入額外參數(shù) [38] 。此外，筆者與Manschot、Moore通過第一性原理計算得到了理論在拓?fù)渑で蟮牡湍苡行б︸詈?[39] ，結(jié)果對于通過
u
平面積分法推導(dǎo)Donaldson不變量起到關(guān)鍵作用。
在2009年，Alday、Gaiotto、Tachikawa發(fā)現(xiàn)Nekrasov配分函數(shù)在
1
2=1時與二維共形場論有著對應(yīng)關(guān)系[40]，而Nekrasov、Shatashvili指出Nekrasov配分函數(shù)在
2→0而
1保持有限值時實現(xiàn)了對Seiberg—Witten解所對應(yīng)的經(jīng)典可積系統(tǒng)的量子化[41]。為了更好地分析Nekrasov配分函數(shù)在一般情況下的性質(zhì)，Nekrasov在2015年通過對所有瞬子構(gòu)型做重求和，推導(dǎo)得到了非微擾Dyson—Schwinger方程組[42]。它以極其緊湊的方式包含了Nekrasov配分函數(shù)的全部信息，同時為嚴(yán)格證明而非檢驗Alday—Gaiotto—Tachikawa關(guān)系和Nekrasov—Shatashvili關(guān)系及其各種推論提供了恰當(dāng)?shù)某霭l(fā)點[43—45]。
05
全面拓展
2007年，Pestun發(fā)現(xiàn)可以將四維
N
=2超對稱理論置于四維球面上并保持部分超荷。利用局域化方法，理論的配分函數(shù)和超對稱Wilson圈的期望值被嚴(yán)格計算[46]。不同于此前的情形，此時用于局域化計算的超荷的平方是包括平移、時空旋轉(zhuǎn)、標(biāo)度變換、
R
對稱變換等在內(nèi)的一系列對稱變換的線性組合，并且局域化的結(jié)果并不是將計算約化為某種方程解的計數(shù)，而是特定矩陣模型的積分。Pestun嚴(yán)格計算的結(jié)果結(jié)合人們在20世紀(jì)八九十年代就已建立的分析矩陣模型的系統(tǒng)性工具，直接證明并進(jìn)一步推廣了此前人們基于AdS/CFT對偶提出的猜想。
Pestun的工作啟發(fā)人們重新審視局域化方法在超對稱理論中的適用范圍。后續(xù)研究發(fā)現(xiàn)，類似的計算可以拓展至其他類型的超對稱理論和不同維度時空中的各種復(fù)雜幾何背景。這其中最具代表性的情形為時空背景是各個維度的球面[47—51]或它們的變形[52—56]。這些計算得到的精確結(jié)果為發(fā)掘和檢驗不同規(guī)范理論之間或規(guī)范理論與弦論的對偶關(guān)系提供了重要的依據(jù)。
一般來說，當(dāng)將定義在平直時空背景上的超對稱量子場論通過與度規(guī)的最小耦合定義在彎曲時空背景上時，原本平直時空中的超荷會被破壞，但有可能構(gòu)造出在彎曲時空中的新超荷。因此，在所有這些計算中，人們都面臨一個共同的技術(shù)與概念難題：如何在彎曲時空上定義超對稱量子場論，并保持一定數(shù)量的超荷用于進(jìn)行局域化計算。傳統(tǒng)觀點認(rèn)為，這要求彎曲時空上存在協(xié)變常旋量作為超對稱變換的參數(shù)。但這是很強(qiáng)的限制，例如對四維緊致流形，協(xié)變常旋量只存在于四維環(huán)面和
K
3曲面。后來，人們發(fā)現(xiàn)這個條件可以被放寬到超對稱變換參數(shù)需滿足Killing旋量方程[57—59]。這使得各個維度的標(biāo)準(zhǔn)球面成為了被允許的時空背景，但仍無法處理變形后的球面等復(fù)雜情況。此外，在確定彎曲時空背景后，往往需要反復(fù)嘗試才能通過繁瑣的計算確定超對稱變換規(guī)則。這導(dǎo)致在彎曲時空背景上構(gòu)建超對稱理論成為極其困難的任務(wù)。
2011年，F(xiàn)estuccia和Seiberg提出的系統(tǒng)性方法[60]徹底破解了這一困境。他們的方法包含以下步驟：
(1)將彎曲時空流形的度規(guī)嵌入到恰當(dāng)?shù)某Χ嘀貞B(tài)中，把原本超對稱場論與度規(guī)的最小耦合擴(kuò)展成包含規(guī)范場和物質(zhì)場的超引力理論；
(2)將超引力多重態(tài)中的所有場視為背景場并凍結(jié)量子漲落，將度規(guī)設(shè)為所需的值；
(3)將超引力多重態(tài)中的費米場及其超對稱變換設(shè)為零，由此確定超引力多重態(tài)中剩余的玻色場以及超對稱變換參數(shù)；
(4)將以上得到的超引力多重態(tài)的背景值和超對稱變換參數(shù)代入已有的超引力理論的超對稱變換規(guī)則，取普朗克質(zhì)量趨于無窮大的極限后即可得到在彎曲時空流形上的超對稱量子場論的超對稱變換規(guī)則。
值得指出的是，度規(guī)嵌入超引力多重態(tài)的方法往往并不唯一。一方面，不同的嵌入方法可能適用于不同類型的流形。例如對于四維
N
=1理論，至少存在舊最小超引力多重態(tài)、新最小超引力多重態(tài)、超共形超引力多重態(tài)等不同方式將度規(guī)嵌入其中，每種方式允許的度規(guī)形式不完全相同[61，62]。另一方面，在度規(guī)相同但超引力多重態(tài)中其余玻色場不同的背景下，配分函數(shù)等物理量的結(jié)果可以不同，這意味著刻畫彎曲時空背景上的超對稱場論需要的信息不止限于度規(guī)。
06
總結(jié)與展望
局域化方法如同一把鋒利的“手術(shù)刀”，充分利用超對稱的特殊性剝離了冗余的復(fù)雜性，將超對稱量子場論中一些原本看似不可能的計算變成可嚴(yán)格計算的離散求和、有限維普通積分或矩陣積分。這些計算結(jié)果在物理現(xiàn)象解釋與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)揭示方面具有雙重價值，成為了當(dāng)前超對稱理論研究者手中必備的工具。
盡管相關(guān)研究激增并已經(jīng)取得了巨大成果，但依然存在不少未解難題。首先，隨著維度增加或超荷數(shù)目上升，對彎曲流形上超對稱理論的構(gòu)建和分析復(fù)雜度顯著提升，尤其是對五維和六維的情形僅存在部分成果。其次，在將問題約化至矩陣模型的計算后，如何從中提取有價值的物理信息仍然缺乏普適而高效的手段。最后，現(xiàn)有的方法都只局限于對受到超對稱保護(hù)的物理量進(jìn)行計算，如何拓展至更一般的物理量仍是充滿混沌的巨大挑戰(zhàn)。所有的這些問題都有待讀者在將來給出解答。
致謝感謝東南大學(xué)江云峰教授、顧杰教授和中國科學(xué)院大學(xué)周稀楠教授的討論。
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