山西
一、題目
如圖，在RT△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D是AB的中點，以CD為直徑作圓O，圓O分別與AC、BC交于點E、F，過點F作圓O的切線FG，交AB于點G，則FG的長為________.
二、分析與解答
這是一道與圓有關的填空壓軸題，從考查頻率上來講，三角形出現的最多，然后是四邊形，圓出現頻率最低，而且難度也通常是最低的.
本題的得數很容易猜出來，O、D是中點，不難猜出F也是中點，且FG⊥AB
由△BFG∽△BAC或sin∠FBG=3/5，可得 FG=12/5.
本題的關鍵點就在于如何證明點F是中點.
解法一：由平行線分線段成比例來證點F是中點
連接OF
∵FG為圓O的切線 ∴∠OFG=90°
∴∠OFC+∠BFG=90°
∵OC=OF ∴∠OFC=∠OCF
∵CD是RT△ABC斜邊上的中線
∴CD=BD ∴∠OCF=∠B
∴∠OFC=∠B ∴OF//DB
∴∠BGF=∠OFG=90°，CF/BF=CO/OD=1（平行線分線段成比例）
∴BF=CF=4
由勾股定理可得 AB=√(6^2+8^2)=10
∴sin∠FBG=3/5
∴FG=4sin∠FBG=12/5
解法二：由等腰三角形的三線合一來證點F是中點
連接OF、DF
由等腰三角形的三線合一，可得F為中點
由中位線定理可得OF//DB，進而FG⊥DB
然后利用相似、三角函數或等面積法均可得到FG=12/5
也可以作△ABC中AB邊上的高，由等面積法得出高為24/5，然后由中位線定理得出FG=12/5
三、小結
1、關于圓的內容，課本上刪減了很多，而且考的內容也很少，常見的有圓周角定理及其推論、切線的性質和判定、扇形的弧長和面積.
2、如果遇到切線，一定要記住連半徑，遇切線、連半徑、得垂直.本題中連半徑就是一個必備的輔助線.
3、留兩個小問題：
①點E是否是AC中點？
②設AD與圓O交于點H，CH與AB有什么樣的位置關系？
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