一、題目

如圖，在RT△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足為D，E為BC的中點(diǎn)，AE與CD相交于點(diǎn)F，則DF的長(zhǎng)為_(kāi)_______.

二、分析與解答

1、拓展已知條件

BE=CE=2，AB=5，CD=12/5，AD=9/5，BD=16/5

tan∠FCA=3/4，tan∠FAC=2/3

求CD時(shí)可用等面積法、相似、三角函數(shù)，求AD和BD時(shí)，可用相似、三角函數(shù)、勾股定理、射影定理（樹(shù)平方=影乘積，很好掌握，感興趣可以去看看這篇：初中數(shù)學(xué)：射影定理結(jié)論巧記及證明）

部分基礎(chǔ)較差的同學(xué)在面對(duì)多種方法時(shí)，不知如何選擇，其實(shí)各種方法難易程度差別并不大，解題時(shí)間差不了幾分鐘，你只要選擇最擅長(zhǎng)的方法即可，基礎(chǔ)好的同學(xué)可以自己分別嘗試然后尋找最優(yōu)解.

2、不同解法

思路一：構(gòu)造相似

由核心條件中點(diǎn)想到構(gòu)造中位線，從而構(gòu)造平行A字或8字相似

下面給出2種構(gòu)造方法

解法一：取BD中點(diǎn)G，連接EG

EG=1/2CD=6/5，DG=1/2BD=8/5，AG=17/5

DF/EG=AD/AG，DF:6/5=9/5:17/5，DF=54/85

解法二：取CD中點(diǎn)G，連接EG

EG=1/2BD=8/5，DG=1/2CD=6/5

DF:FG=AD:EG=9/5:8/5=9:8

DF=9/17DG=9/17×6/5=54/85

思路二：解三角形

已知CD求DF，只需求出CF

在△ACF中，已知AC長(zhǎng)和兩個(gè)角的三角函數(shù)值，不難求出CF

解法三：輔助線同解法一

在RT△ADF中，AD已知，只需求出tan∠DAF

tan∠DAF=EG/AG=6/5:17/5=6/17

DF=ADtan∠DAF=9/5×6/17=54/85

解法四：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G

設(shè)FG=6x，則CG=8x，AG=9x，CF=10x

AC=17x=3，x=3/17，CF=10x=30/17

DF=CD-CF=12/5-30/17=54/85

三、小結(jié)

1、勾股、相似、三角函數(shù)是求線段長(zhǎng)常用的三種方法，勾股需要構(gòu)造直角三角形，常作垂線.相似最常見(jiàn)的是構(gòu)造正A和正8相似，常作平行線.三角函數(shù)也需要構(gòu)造直角三角形，非直角三角形中最常見(jiàn)的就是已知兩角一邊，作高即可構(gòu)造直角三角形.

2、中點(diǎn)最常見(jiàn)的輔助線是構(gòu)造特殊三角形（等腰或直角）的中線或中位線.