一、題目

如圖，在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，AE⊥BC于點E，點F是AE延長線上一點，且∠ACF=∠CAF，線段AB、CF的延長線交于點G，若AB=√5，AD=4，tan∠ABC=2，則BG的長為_____

二、分析與解答

在RT△ABE中，AB=√5，tan∠ABC=2，可得BE=1，AE=2，CE=3

設(shè)EF=x，則CF=x+2，由勾股定理可得EF=5/4，CF=13/4

解法一：過點G作GH⊥BC，交CB延長線于點H

設(shè)BH=m，則GH=2m

△CEF∽△CHG，CE/CH=EF/HG

3:(m+4)=5/4:2m，m=20/19，BG=20√5/19

解法二：過點G作GH⊥AF，交AF延長線于點H

FH:GH=EF:CE=5/4:3=5:12，設(shè)FH=5m，GH=12m

△ABE∽△ABH，BE/GH=AE/AH

1:12m=2:(13/4+5m)，m=13/76，F(xiàn)I=65/76，EI=40/19

AB:BG=AE:EI，√5:BG=2:40/19，BG=20√5/19

解法三：過點F作FH//AB，交BC于點H

EH=1/2EF=5/8，CH=3-5/8=19/8，HF=5√5/8

CH:CB=HF:BG，19/8:4=5√5/8:BG，BG=20√5/19

解法四：過點B作BH//CF，交AF于點H

EH=5/12，AH=2-5/12=19/12，HF=5/12+5/4=20/12

AB:BG=AH:HF，√5:BG=19/12:20/12=19:20，BG=20√5/19

解法五：過點B作BH//EF，交CG于點H

BH=4×5/12=5/3，BG:AG=BH:AF

BG:(BG+√5)=5/3:13/4，BG=20√5/19

解法六：分別延長AD、GC交于點H

AH=12/5AF=12/5×13/4=39/5，DH=39/5-4=19/5

△HDC∽△CBG，HD:CB=DC:BG

19/5:4=√5:BG，BG=20√5/19

三、小結(jié)

1、本題的難點在于拓展已知條件，能否求出AE、BE、EF、CF的值，只要能求出來，剩下的就比較簡單了，隨便構(gòu)造相似就能解.

2、求AE、BE用三角函數(shù)，求EF、CE用勾股定理

3、構(gòu)造相似最常用的輔助線是平行線.