一、前言

三年前也曾寫過關(guān)于平行線拐點(diǎn)模型的文章，當(dāng)時(shí)側(cè)重于一題多解，如今再次執(zhí)教初一，卻又有了不同的感悟。

在教授許多知識時(shí)，老師們都認(rèn)為這個(gè)知識很簡單，甚至于很多學(xué)生也認(rèn)為自己一下就學(xué)會了，但事實(shí)上，絕大部分學(xué)生的掌握能力都很有限。對于普通學(xué)生來說，即使是一些最基礎(chǔ)的知識，也是需要不斷重復(fù)、反復(fù)訓(xùn)練才能學(xué)會的。

人們認(rèn)識事物往往總是從自身角度出發(fā)，現(xiàn)如今一線執(zhí)教的老師，初中時(shí)大部分都是班里的佼佼者，又經(jīng)過了層層篩選才走上了工作崗位，大部分學(xué)生的資質(zhì)是達(dá)不到這個(gè)水平的，這就導(dǎo)致了期望與實(shí)際的偏差。而從學(xué)生角度來講，能看懂、聽懂并不意味著自己已經(jīng)掌握，是需要不斷練習(xí)甚至重復(fù)才能加以鞏固，并最終掌握的。

回到平行線拐點(diǎn)模型，這個(gè)知識點(diǎn)在這一章其實(shí)是一個(gè)難點(diǎn)，無論是本章還是期中、期末試卷，很多壓軸題都是考的這個(gè)知識點(diǎn)。一個(gè)較難的知識點(diǎn)，如果同時(shí)教授好幾種方法，學(xué)生總體掌握度其實(shí)是較差的，反而不如“一招鮮，吃遍天”，在掌握通用解法的基礎(chǔ)上，再去嘗試一題多解，則會起到事半功倍的效果。

二、什么是拐點(diǎn)模型？

拐點(diǎn)模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。

1、點(diǎn)在平行線中間

2、點(diǎn)在平行線外

最常見的拐點(diǎn)模型是①③⑤⑦，尤其①③更是常見，分別叫做豬蹄模型和鉛筆模型。

三、拐點(diǎn)模型的基本思路與通用解法

基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化，通用解法：過拐點(diǎn)作平行線。

1、和差拆分：過拐點(diǎn)作平行線后，拐角就可以用角的和差來表示。如果平行線在角的內(nèi)部，則拐角可表示為兩個(gè)角的和；如果平行線在角的外部，則拐角可表示為兩個(gè)角的差。

2、等角轉(zhuǎn)化：平行線模型都具有等角轉(zhuǎn)化功能，可用同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角來等量表示。

四、例題

下面以模型②⑥為例，具體解釋一下。

例1、如圖，AB//CD，試猜測∠AOD與∠A和∠D的關(guān)系并證明。

分析：如圖，首先過拐點(diǎn)作平行線OE，則∠AOD可通過和差拆分轉(zhuǎn)化為角的和∠1+∠2，然后利用平行線的等角轉(zhuǎn)化，∠1表示為∠A，∠2表示為180°-∠D，∴∠AOD=∠A+180°-∠D

解答：

∠AOD=∠A-∠D+180°，理由如下：

過點(diǎn)O作OE//AB

∵OE//AB（輔助線做法）

∴∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∵OE//AB（輔助線做法），AB//CD（已知）

∴OE//CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）

∴∠2=180°-∠D（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∴∠AOD=∠1+∠2=∠A-∠D+180°（等量代換）

例2、如圖，AB//CD，試猜測∠AOD與∠A和∠D的關(guān)系并證明。

分析：同例1類似，首先過拐點(diǎn)作平行線OE，所不同的是，因?yàn)楸绢}輔助線在∠AOD的外部，所以和差拆分轉(zhuǎn)化為了角的差∠EOA-∠EOD，然后再利用平行線的等角轉(zhuǎn)化，∠EOA轉(zhuǎn)化為180°-∠A，∠EOD轉(zhuǎn)化為∠D，∴∠AOD=180°-∠A-∠D.

解答：

∠AOD=180°-∠A-∠D，理由如下：

過點(diǎn)O作OE//AB

∵OE//AB（輔助線做法）

∴∠EOA=180°-∠A（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

∵AB//CD（已知），OE//AB（輔助線做法）

∴OE//CD（平行于同一直線的兩條直線互相平行）.

∴∠EOD=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

∴∠AOD=∠EOA-∠EOD=180°-∠A-∠D（等量代換）

五、小結(jié)

1、練好基本功，貪多嚼不爛

一題多解的確可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，但前提是基礎(chǔ)要牢，應(yīng)首先掌握常用方法的多解歸一，否則即使方法再多，也不過是花拳繡腿、空中樓閣。事實(shí)上，中考閱卷中發(fā)現(xiàn)，有很大比例的學(xué)生證明題過程都是亂寫的，即使是簡單題，就像某位同事所說“不要把他們想的太聰明，差得遠(yuǎn)呢！”

2、書寫要規(guī)范，證明過程要有理有據(jù)

拐點(diǎn)問題學(xué)生出錯(cuò)很多，有輔助線描述亂寫的，有直接利用拐點(diǎn)結(jié)論的，有由OE//AB直接得到OE//CD的，胡亂省略、跳步，證明過程上下不存在因果關(guān)系等等。

3、教師應(yīng)多從學(xué)生角度考慮問題

對于普通學(xué)校的絕大部分學(xué)生，學(xué)生學(xué)習(xí)能力其實(shí)是極其有限的，不能把他們想的太高。