置信區(qū)間反映的是“樣本均值”這個統(tǒng)計量的不確定性，因此使用的是標(biāo)準(zhǔn)誤（standard error），而不是直接用樣本標(biāo)準(zhǔn)差（standard deviation）。標(biāo)準(zhǔn)誤體現(xiàn)的是均值的波動程度，而樣本標(biāo)準(zhǔn)差體現(xiàn)的是個體數(shù)據(jù)的波動程度，兩者并非一回事，就如下圖所顯示的一樣。

下面會一步一步解釋清楚：

一、標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)誤，究竟差在哪？

很多同學(xué)對“標(biāo)準(zhǔn)差”和“標(biāo)準(zhǔn)誤”這兩個概念傻傻分不清楚，但其實差別明顯：

• 標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation，σ或s）
  是衡量單個數(shù)據(jù)點相對于平均值波動的程度，反映的是總體（或樣本中每一個個體）數(shù)據(jù)的波動情況。
  
• 標(biāo)準(zhǔn)誤（Standard Error，σ/√n 或 s/√n）
  衡量的是樣本均值這個統(tǒng)計量本身波動的程度，也就是抽取不同樣本后得到的樣本均值之間的波動程度。

簡單來說：

• 標(biāo)準(zhǔn)差：看個體數(shù)據(jù)的波動
  
• 標(biāo)準(zhǔn)誤：看樣本均值的波動

兩者衡量對象本質(zhì)不同，因此不能混用。

二、為什么置信區(qū)間需要用標(biāo)準(zhǔn)誤？

我們回到置信區(qū)間的本質(zhì)來看：

置信區(qū)間的目標(biāo)是什么？

是推測總體參數(shù)的范圍，比如推測總體均值。這里用到的是“樣本均值”這個統(tǒng)計量，而非單個樣本數(shù)據(jù)本身。

由于樣本均值每次抽樣都會變化，每次抽樣得到的均值都會和真實的總體均值存在一定偏差。這種偏差的波動程度，就是用“標(biāo)準(zhǔn)誤”來描述的。

舉個生動點的例子：

• 假設(shè)一個班有50名同學(xué)，真實的平均身高是170cm，標(biāo)準(zhǔn)差為10cm。
  
• 你每次隨機(jī)抽取10個學(xué)生，算出一個樣本均值，這個均值不會每次都剛好是170cm，可能171cm、168cm、169.5cm……
  
• 你抽很多次樣本，每個樣本的均值之間是有波動的，這個波動程度就要用標(biāo)準(zhǔn)誤來衡量
  
• 樣本容量越大，抽取的樣本均值就越接近真實均值（170cm），樣本均值之間的波動就越小，因此標(biāo)準(zhǔn)誤是 σ/√n，n越大，標(biāo)準(zhǔn)誤越小。

因此，置信區(qū)間本質(zhì)上是以樣本均值為中心，向外延伸一定范圍，來推測總體均值在哪個區(qū)間內(nèi)。
這個向外延伸的范圍就必須用標(biāo)準(zhǔn)誤來決定，而不是直接用標(biāo)準(zhǔn)差。

三、為什么不能用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差？

很多同學(xué)在做題時發(fā)現(xiàn)，給定的是一個樣本，樣本也是正態(tài)分布啊，為啥不用樣本自己的標(biāo)準(zhǔn)差呢？

原因是：

• 樣本的標(biāo)準(zhǔn)差體現(xiàn)的是單個樣本內(nèi)部個體之間的波動。
  
• 但置信區(qū)間關(guān)注的是樣本均值和總體均值之間的誤差波動。

即便你只抽了一個樣本，這個樣本雖然也近似正態(tài)分布，但它的標(biāo)準(zhǔn)差描述的是數(shù)據(jù)之間的差異，而不是“樣本均值”與“總體均值”之間的差異。

再形象一點：

• 一個樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差體現(xiàn)的是樣本內(nèi)個體之間的差距；
  
• 但你做推斷的時候，關(guān)心的是**“我的這個樣本均值距離真實的總體均值有多遠(yuǎn)？”**
  
• 為了回答后面這個問題，你必須用標(biāo)準(zhǔn)誤，而非標(biāo)準(zhǔn)差。

四、做題時看到的“σ/√n”和單個樣本的關(guān)系？

做題時題目一般給你一個樣本，常常還會給出總體標(biāo)準(zhǔn)差σ，或者讓你用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來估計σ（如果σ未知的話）。

題目里出現(xiàn)的：

• 總體標(biāo)準(zhǔn)差σ已知，你直接用標(biāo)準(zhǔn)誤 σ/√n 計算置信區(qū)間即可；
  
• 總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知，那你必須用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s來替代σ，這種情況下標(biāo)準(zhǔn)誤為 s/√n。

無論哪種情況，都必須是 σ/√n 或 s/√n，而不是 σ或s本身。

這和你只拿到一個樣本，并不沖突。因為哪怕你只抽了一個樣本，你做推斷的基礎(chǔ)仍然是“樣本均值”這個統(tǒng)計量的波動程度，本質(zhì)不會改變。

總結(jié)一下

標(biāo)準(zhǔn)誤體現(xiàn)的是樣本均值這個統(tǒng)計量的波動，而標(biāo)準(zhǔn)差體現(xiàn)的是個體數(shù)據(jù)的波動，兩者衡量的是完全不同的東西。

置信區(qū)間關(guān)注的核心是推斷總體參數(shù)（例如均值）落在哪個區(qū)間，因此用到標(biāo)準(zhǔn)誤，而非樣本本身的標(biāo)準(zhǔn)差。

理解了這一點，統(tǒng)計推斷中關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)誤的問題也就迎刃而解啦！