黑爾戈蘭(Helgoland或Heligoland)島位于北海，19世紀末以來屬于德國，在海岸線外約70公里。黑爾戈蘭島名稱有“神圣之地”的意思。巧的是，在現實中，它是量子力學的圣地。

▲黑爾戈蘭島。圖源：Carsten Steger（Wikimedia Commons）

去黑爾戈蘭島的船往往從漢堡（Hamburg）來回。漢堡，即漢堡包(Hamburger)的故鄉，是德國第二大城市，位于易北河與比勒河的入海口處，距離北海110多公里，漢堡港是德國最大的港口。在人們對量子力學史的印象中，漢堡不如哥本哈根、哥廷根和黑爾戈蘭島那么引人注目，其實它也是量子力學的圣地。

黑爾戈蘭島上的晨曦

黑爾戈蘭島之所以成為量子力學的圣地，一個意外的原因是這里幾乎沒有植被，沒有花粉。1925年，24歲的海森堡（Werner Heisenberg）受嚴重的花粉癥困擾，于是逃避到黑爾戈蘭島，度過了兩周不到的時間。

海森堡同時也被量子力學的難題所困擾。不知道是不是花粉之苦的消失激發了他的創造力，他取得了從老量子論到新量子力學的突破，邁出了量子力學的關鍵一步。某個夜間，在島南的一個海邊旅店二樓的房間里，他突然意識到玻爾-克雷默斯-斯萊特(BKS)理論（其中能量不守恒）已被拋棄，能量必須守恒，這使得他在用于討論電磁輻射和色散的非簡諧振子的能量表達式中，將位移用相應的聯系初態和末態的一個量代替，仍然保持守恒。當晨曦降臨的時候，矩陣力學（量子力學的第一種形式）的關鍵思想也降臨了。

海森堡回到德國大陸，必經漢堡。當時，漢堡居住著他的大一歲的師兄泡利。與海森堡的期待相反，泡利沒有給以批評和挖苦，而是報以熱情的鼓勵，希望他沿著這條路走下去。這個不尋常的反應給了海森堡極大的鼓舞，因此海森堡回到哥廷根后，一直向泡利通報進展。

海森堡的進展也給泡利帶來了希望。2025年5月21日，泡利在給克羅尼格的信中說：“物理學再次進入死胡同。” 而10月9日，他又致信克羅尼格：“海森堡的力學讓我恢復了對生活的興趣。”

海森堡一直步泡利后塵。泡利1918年10月進入慕尼黑大學，后來成為索莫非（Arnold Sommerfeld）的研究助手，1921年10月到哥廷根，成為玻恩(Max Born)的助手。1922年10月，泡利接受了漢堡的楞次提供的職位。1923年又去哥本哈根訪問玻爾一年。而海森堡1920年10進入慕尼黑大學，立即師從索莫非，1922年海森堡也來到哥廷根，成為玻爾的助手，一個冬天后，在泡利的鼓勵和玻爾的邀請下，又去訪問了玻爾幾個月。1922年玻爾到哥廷根講學，俗稱玻爾節，期間玻爾熱情邀請來自漢堡的泡利去他的研究所訪問，并對來自慕尼黑的海森堡印象深刻。

泡利在漢堡一直待到1928年移居蘇黎世，就任聯邦工學院教授。

▲海森堡

▲泡利

黑爾戈蘭島突破的前因

海森堡在黑爾戈蘭島上的突破導致了新的量子力學的矩陣力學表示。矩陣力學最早幾篇論文于1925年發表或者完成。

在整個量子力學發展史上，相對于普朗克、愛因斯坦、玻爾的“老量子論”而言， “新量子力學”是從“老量子論”發展而來，解決了“老量子論”不能解釋的問題。 “老量子論”的輝煌成就包括普朗克量子假設、愛因斯坦光量子論、玻爾原子模型等等。它并不是獨立而自洽的理論體系，而只是在經典物理學基礎上，增加一些新的規則，即所謂的量子條件，用對應原理將經典物理的結果翻譯成量子結果。對應原理最早由玻爾于1918年提出，是說在某些極限情況下，量子結果退化為經典結果。

面對層出不窮的新實驗現象，主要是光譜（特別是多電子原子的光譜），反常塞曼效應，等等，“老量子論”遭遇種種困難。為了解決這些困難，新量子力學應運而生，是全新的理論體系。其中很多工作是關于發出或吸收光子的量子躍遷。

海森堡的突破與色散問題直接相關，這是物質和輻射相互作用的重要問題。色散是指材料對光的折射依賴于光的頻率。

1900年，德魯德（Paul Drude）提出經典色散理論，通過電場力作用下的非簡諧振子模型，算出電極化與電場強度的關系，即電極化率，給出色散關系。同一年，普朗克推導黑體輻射譜時，也用了電場力作用下的非簡諧振子模型，說明這是當時普遍考慮的模型。

1916年，愛因斯坦提出他的輻射理論，提出原子中的電子與輻射相互作用，有自發吸收、自發輻射和受激輻射三個過程。

1921年，拉登堡（Rudolf Ladenburg）將愛因斯坦的輻射理論與德魯德的色散理論結合起來，根據對應原理，將振子的能量損失等同于輻射的吸收，并借助于1900年普朗克（Max Planck）給出的電磁場能量與振子能量的關系，得到了電極化率愛因斯坦吸收系數的關系。1924年，克萊默斯（Hendrik Kramers）將此結果推廣到對所有末態求和的情況。

1922年，達爾文（Charles G.Darwin）提出，當電磁波與原子作用時，后者有一定概率發射出新的電磁波，能量和動量守恒不需要在微觀上成立。

1924年，斯萊特（John Slater）提出，一組原子可看成一組振子，每個振子因為振動而發出的輻射作用在其他振子上，導致一定概率發生愛因斯坦所說的能量躍遷，能量和動量守恒只在統計平均下成立。

同年，斯萊特訪問玻爾(Niels Bohr)研究所時，玻爾、克萊默斯和斯萊特將斯萊特的理論改造Bohr-Kramer-Slater（BKS）理論，去掉愛因斯坦理論的成分，因為玻爾當時不接受光量子概念。克萊默斯是玻爾的大弟子（埃倫費斯特的博士生，但是跟玻爾做論文），當時是玻爾研究所的“管家”。

BKS理論引起玻恩的重視，當時他正在尋找解決量子問題的理論方法。同年，他發表了一篇文章提出，因為量子躍遷沒法用經典力學計算，所以經典微擾論輔以量子條件不能解決問題，而需要一個“量子力學”。這是“量子力學”一詞首次出現。在這篇文章中，玻恩還給出了一個從經典力學到量子力學的方案，物理學史家雅默（Max Jammer）稱之為玻恩的對應原理，就是函數在量子數的不同取值下的差別等于這個函數對這個量子數的導數乘以量子數之差。當時，海森堡作為玻恩的助手，幫助做了點計算。

1925年，海森堡在訪問玻爾研究所期間，和克萊默斯合作，運用玻恩的對應原理，證明了克萊默斯前一年的電極化率結果。

至此，原子的概念變得更加抽象。非簡諧振子模型和概率的概念都將被海森堡所繼承。多年以后，海森堡曾經列數了我們上面提到的直接相關的前期工作：“一步一步的進步很清楚，拉登堡的文章，克萊默斯的文章，玻恩的文章，然后克萊默斯和我的文章；每篇文章都在正確的方向深入一步。”

現在我們談到量子力學在1925年的重大突破，往往集中于理論進展。但是量子力學在1925年年初，有一個重要的實驗進展，那就是玻特（Walther Bothe）和蓋革（Hans Geiger）的實驗。

大家都知道玻恩的諾貝爾獎于1954年雖遲但到，常令人扼腕。然而，對于與他分享這個獎的玻特及其獲獎理由，大概所知較少。玻特得獎兩年多后就去世了。我們看看諾獎委員會的說法：“符合法以及基于此的發現（for the coincidence method and his discoveries made therewith）”。 更詳細的說法：“在計數管中，通過的粒子產生電脈沖。1929年，玻特將兩個計數管連起來，只有同時有粒子通過時，才會記錄下來。這意味著，要么這兩個通過的粒子來自同一個事件，或者粒子運動很快，粒子在管子之間的運動事件忽略不計。玻特用這個方法證明粒子和光子碰撞時，能量是守恒的，而且用來研究宇宙輻射（In a counter tube, particles passing through the tube generate an electric pulse. In 1925 Walter Bothe connected two counter tubes together so that only simultaneous passages were registered. This meant that either the passages were caused by particles that originated from the same event or by a particle that moved so fast that the time for movement between the tubes was negligible. Bothe used the method to show that energy is conserved in impacts between particles and photons and to study cosmic radiation）。“ 這個方法有廣泛的應用，所以這個獎強調了方法。但是玻特用這個方法進行了一個很重要的實驗。諾獎資料也提到了。

蓋革曾是盧瑟福的博士后，1908年，在盧瑟福的指導下，蓋革和馬斯登（Ernest Marsden）用alpha粒子轟擊金箔，證明原子有核。這個人類歷史上最重要的實驗之一沒有獲得諾貝爾獎。

玻特-蓋革實驗就是用符合法，證明康普頓效應中，電子和光子碰撞的過程是能量守恒的。 也就是說，之前（1923年）的康普頓實驗只是發現電子使得X射線的波長變化，可以用愛因斯坦的光量子論解釋，但是并不能從實驗上證明確實這個過程。而玻特-蓋革實驗完成了這個使命，也宣告了當時備受關注的玻爾-克雷默斯-斯萊特（BKS）理論的破產。 1954年，玻爾（1885–1962)還健在。

▲玻特和蓋革，1930年代末。

愛因斯坦的諾獎是在1922年獲得（名義上是1921年的諾獎），強調的是光量子論預言的光電效應定律，而且是在康普頓效應發現之前。很多人（包括玻爾）在玻特的實驗之前不接受愛因斯坦的光量子論。

也就是說，玻特和玻恩的諾獎都是量子力學史上雖遲但到的諾獎，一個實驗，一個理論。當時蓋革已于1945年去世。比玻恩的遭遇還要不幸的是，玻特-蓋革實驗在一般的量子力學資料中提得不多，大概因為一般的作者只是參考其他的二手資料。

1925年1月5日，柏林物理學會召開80周年慶祝大會。10天后，玻恩寫信告訴玻爾：“會上每個人都在談論蓋革-玻特實驗，這個實驗支持光量子論。愛因斯坦非常高興。“ 不過這時，蓋革和玻特本人以及玻恩還沒有完全確信。

玻特-蓋格實驗宣布了BKS理論的破產，這使得海森堡在黑爾戈蘭島上考慮能量守恒。

黑爾戈蘭島突破的后果

海森堡的突破撕開了一個口子，引起了摧枯拉朽的后續工作。

多年后，海森堡將他的突破比作登山，在迷霧中模模糊糊看到要找的石頭，從而知道自己的位置，改變了整個情況。他的登山比喻可以或多或少用于他的很多工作。楊振寧對此非常欣賞，曾專文論述，雖然從研究風格上，海森堡與楊振寧非常不一樣。

海森堡將經典電磁輻射功率公式中的位移改為與始末態相關的量（下標）。 為了滿足能量定態值，猜出位移的乘法規則。他將論文稿件交給玻恩后，去萊頓、劍橋、慕尼黑、Alps、哥本哈根。10月回哥廷根。

玻恩看出海森堡的論文的價值，幫他投稿。作為新量子力學的第一篇論文，海森堡（Werner Heisenberg）的論文《運動學和力學關系的量子力學解釋（Uber quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechaniseher Beziehungen）》7月29日被物理學雜志（Zeitschrift für Physik）收稿。 有趣的是，文章寫道：“本文尋求嚴格在原則上能觀測到的量之間的關系基礎上，建立理論量子力學（The present paper seeks to establish a basis for theoretical quantum mechanics founded exclusively upon relations between quantities which in principle are observable）.” 這是受愛因斯坦相對論方法的影響。

▲量子力學的第一篇論文

而且，玻恩認出，海森堡加了下標的物理量是矩陣。他和約當寫了 “兩個人的論文”，包含位置-動量對易關系（這個關系后來刻在玻恩的墓碑上），也是1925年發表。

▲玻恩的墓碑（圖片來自網絡）。

接著，包括海森堡在內，他們完成 “三個人的論文”，1925.11.投稿，1926.11.發表。這3篇論文創立了量子力學的矩陣力學形式。海森堡獨享1932年的物理諾獎。

在海森堡的督促下，泡利用矩陣力學解出氫原子（1926.1投稿，1926年底發表）。

漢堡和量子力學

泡利在漢堡時，對量子力學的貢獻當然不僅僅是催生了海森堡的矩陣力學，以及在海森堡督促下，用矩陣力學解出氫原子問題。

1923年，泡利從漢堡到哥本哈根訪問約一年。當時他（以及很多同行）關注的難題是反常塞曼效應。在磁場中，每個原子能級會劈裂成若干個，正比于磁場，也正比于某個量子數。但是實驗發現，它們還正比于另外一個因子g因子，這叫做反常塞曼效應，以區別于g是1的情況（正常塞曼效應）。

這個今天在教科書中一個例子，當年“引無數英雄競折腰“，因為反常塞曼（以及氦原子問題）體現了老量子論的缺點。 泡利曾經在哥本哈根街道上被人喊住：“你看上去很不開心？” 泡利說：“當一個人思考反常塞曼效應的時候，如何能夠開心呢？”。9月，玻爾和克萊默斯出訪英國（后來玻爾又從那里去美國訪問），泡利給波爾寫了封信， 抱怨玻爾帶走了克萊默斯，使得他少了一個可以討論的對象。10月4日，泡利回到漢堡。

20歲的海森堡提出所謂的矢量模型，朗德（A. Lande）在此基礎上，推導出一個g因子公式，與現在所用的公式一樣。事實上，泡利曾經在給朗德的信中給出這個結果，但是他自己不滿意，所以他曾經寫信給朗德. 諷刺后者發表了自己得到的不喜歡的結果。

怎么解釋g因子公式？物理學家傷透腦筋。當時人們將現在所知的自旋量子數(取正負1/2)歸結于 1924年底，為了解決反常塞曼效應，泡利提出不相容原理，將這個量子數歸結為價電子。而由于不相容原理，內層電子填滿，這也解釋了原子中電子軌道（殼層）的填充。特別是，這說明每個軌道的電子存在二值性，也就是說，除了軌道自由度，還有一個內稟自由度。

1924年11月，泡利將此想法寫信告訴圖賓根的朗德，朗德又告訴從美國來訪的克羅尼格。克羅尼格將泡利的內稟自由度解釋成電子繞自己的旋轉（自旋）。1月，泡利來訪，否定科克羅尼格的想法。克羅尼格又訪問了玻爾、克雷默斯、海森堡。這些重要的物理學家也否認克羅尼格的想法。所以克羅尼格沒有發表這個想法。 泡利對自己提出的這個內稟自由度也無所適從，所以有了那個著名的給克羅尼格的信中所說：“物理學再次進入死胡同。” 但是10月，荷蘭埃倫費斯特的兩個學生烏倫貝克和哥德斯密特獨立發表了關于自旋的想法。

從1924年后期到1925年，量子力學相繼取得了3個突破：不相容原理、矩陣力學第一篇文章、自旋。這三項進展對于量子革命的作用，頗為類似于三大戰役對于解放戰爭的作用。薛定諤關于波動力學的6篇文章從1926年1月開始發表。

自旋的提出是不相容原理的后果。所以這些進展首先發生的地方是黑爾戈蘭島和漢堡。期待漢堡大學立個泡利雕像，黑爾戈島上海森堡像。

物理學家對自己的英雄和英雄之地有朝圣之情。2025年6月9日開始的一周，為了紀念量子力學一百年，大概300名物理學家召開一個“黑爾戈蘭島一百年”的會議（潘建偉院士將通過網絡做邀請報告）。 不過可惜的是，雖然會議第一天的日程安排在漢堡，而且要從漢堡坐船來回黑爾戈蘭島，會議宣傳中，沒有提到漢堡本身在量子力學史上的重要性。

（2025年6月9日草于漢堡）