對普通人來說，三角學最常見的應用是計算各種測量相關的問題。
▲單位圓中的正弦函數和余弦函數

但實際上，三角學的應用遠比我們想象的廣泛和深入，例如在音樂理論中的應用；其他一些用途則更具技術性，比如在數論中的應用。傅里葉級數和傅里葉變換等數學分支，都高度依賴于三角函數的知識，并廣泛應用于包括統計學在內的多個領域。

unsetunset托馬斯·潘恩的贊譽unsetunset

美國革命家與啟蒙思想家托馬斯·潘恩在其著作《理性時代》的第十一章中曾這樣描述三角學：

人類預測日食或其他天體運行的科學原理，核心藏在一門叫 “三角學” 的學問里 —— 簡單說，就是研究三角形特性的科學。這門學問應用在不同領域，會有不同的名字：

• 當它用來探索星空，就成了天文學；

• 當它指引船只在海上航行，就成了航海學；

• 當它輔助用直尺和圓規畫圖，就融入了幾何學；

• 當它參與建筑的平面設計，就成了建筑學的工具；

• 當它用來丈量地球表面的土地，就成了土地測量學。

說到底，三角學就像科學的靈魂，它承載著人類所說的 “數學證明”，是永恒的真理。而它的用途之廣，至今仍有無數種的可能等待我們去發現。

unsetunset歷史上的重要應用unsetunset 印度大三角測量

從 1802 年到 1871 年，英國在印度曾開展了一項浩大的工程——印度大三角測量，目的是高精度測繪整個印度次大陸。

數學家和地理學家們從沿海的基線開始，用三角測量法一步步“鋪”滿了這個國家的廣袤土地。這項工程最亮眼的成就之一，就是測出了喜馬拉雅山脈的高度，確認了珠穆朗瑪峰確實就是地球的最高峰。

在乘法運算中的歷史用途

1614 年對數發明前的 25 年里，“三角和差化積法”是當時唯一能快速估算乘積的通用方法。它的巧妙之處在于：利用三角恒等式，把角度和與差的三角函數，轉換成這些角度各自三角函數的乘積——就這么一變，復雜的乘法問題就成了簡單的加減法。

unsetunset近現代應用unsetunset
▲國際空間站上的加拿大臂 2 號（Canadarm2） 機械臂通過控制其關節角度進行操作。計算宇航員在機械臂末端的最終位置需要反復使用這些角度的三角函數。

三角學遍布了科學的各個領域，比如下面這些：

• 物理工程領域：聲學、建筑學、天文學、制圖學、土木工程、地球物理學、電氣工程、電子學、測量學

• 科學研究領域：結晶學、機械工程、醫學成像、海洋學、光學、藥理學、地震學

• 數學統計領域：數論、概率論、統計學

• 感知與藝術：視覺感知、音樂理論

不過要說明一點，上述領域都涉及了三角學，不代表必須先精通三角學才能入門。但三角學知識的欠缺，有些內容就肯定沒法完全弄懂。比如一位音樂教授可能不懂數學，卻多半知道——畢達哥拉斯是最早為音樂的數學理論添磚加瓦的人。

有些領域里，三角學的應用很容易理解。比如航海和土地測量中，有時用的三角學知識特別基礎，初級課本里就能找到。

在音樂理論中，三角學的應用能追溯到畢達哥拉斯的研究：他最早發現，兩根弦被撥動時，如果長度是某個共同長度的小整數倍，聲音就會很和諧。而振動的弦，形狀和正弦函數圖像驚人地相似——這可不是巧合。

海洋學里也一樣：有些波浪的形狀和正弦函數圖像像“雙胞胎”，背后藏著必然聯系。在氣候學、生物學、經濟學等領域，還有很多季節性的周期現象，研究它們時，總少不了正弦、余弦函數的周期性幫忙。

傅里葉級數

不少領域對三角學的應用更“高級”，復雜到一篇文章說不完。這些應用常和“傅里葉級數”有關——這是以 18 到 19 世紀法國數學家、物理學家約瑟夫·傅里葉命名的概念。

傅里葉級數的應用范圍廣得驚人，尤其在涉及季節性周期現象和波形運動的領域。比如輻射、聲學、地震學、無線電波調制、電力工程等，都少不了它。

傅里葉級數是一種無窮級數，長這樣：

式子里的每個方框（ ）都代表不同的數字（也就是系數），整個級數是無窮多個項加起來的結果。傅里葉最早用它研究熱流和擴散現象——比如把方糖放進一加侖水里，糖會慢慢散開；污染物在空氣中擴散；或者任何溶解物在液體中散開的過程，都能用它分析。

傅里葉級數還能用到看似和波動無關的領域。比如數字壓縮技術：圖像、音頻、視頻數據能被壓得更小，方便通過電話、網絡、廣播傳輸，這些技術背后就有它的功勞。其他應用還有幾何數論、等周問題、隨機游走的重現、二次互反律、中心極限定理、海森堡不等式等。

傅里葉變換

傅里葉變換比傅里葉級數更抽象，它用積分代替求和，應用領域同樣廣泛。很多自然規律可以表述為“量的變化率和量本身相關”，比如人口變化率，可能和當前人口數量、人口與環境承載能力的差額都成正比——這就是“微分方程”。

如果想把人口表示成時間的函數，其實就是在“解”這個微分方程。傅里葉變換能把某些微分方程變成代數方程，而代數方程的解法早就被人們掌握了。它的用途太多了：幾乎所有提到“頻譜”“諧波”“共振”的科學場景，都和傅里葉變換或傅里葉級數脫不了干系。

統計學與心理學

智商（IQ）分布常被說成“鐘形曲線”：曲線下約 40%的面積在 100 到 120 之間，對應著約 40%的人 IQ 得分在這個區間；近 9%的面積在 120 到 140 之間，對應著約 9%的人得分在此范圍，以此類推。

很多事物都遵循這種“鐘形曲線”，比如物理測量中的誤差。為什么它這么普遍？背后的理論原因就和傅里葉變換有關，自然也離不開三角函數。這只是傅里葉變換在統計學中的應用之一。此外，統計學家研究季節性周期時，也常常用傅里葉級數表示周期規律。

數論

三角學和數論之間，藏著一層微妙的聯系。簡單說，數論研究的是數的“性質”，而不是“大小”。

看一組分數：

只保留那些已經是最簡形式的分數，剩下這些：

再用三角學算個和：

結果是 -1。這是因為 42 有奇數個不同的質因數（42=2×3×7），且沒有重復。這個和其實就是 42 的莫比烏斯函數值——如果一個數有偶數個不同的質因數，和為 1；如果有重復質因數（比如 60=2×2×3×5），和為 0。這個例子告訴我們，傅里葉分析也能用到數論里。

求解非三角方程

用三角學還能解很多種方程。

比如常系數線性差分方程或線性微分方程，它們的解可以用特征方程的特征值表示。如果有些特征值是復數，這些復數項能換成實變量的三角函數——這說明變量會呈現振蕩行為。

再比如三次方程，如果有三個實數解，它的代數解里會有復數的立方根，用起來不方便。但有一種替代解法：用實變量的三角函數表示，處理起來簡單多了。

來源：遇見數學

編輯：Decoherence

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