一、題目

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=4.在BC的上方作△BCD，使BD=BC，BD交AC于點E.若∠D=∠A，則AE的長為_______.

二、分析與解答

1、拓展已知條件

AB=2，BC=4，由勾股定理，可得AC=2√5

BC=BD=4，△BCD中作CD邊或BC邊上的高，易得CD=8/√5

（不寫成8√5/5是因為中間過程8/√5更簡潔，計算可能會更簡單）

由兩角相等可得△ABE∽△DCE

由∠A=∠D可聯想到四點共圓

2、不同解法

（1）相似+方程組

過點B作BF⊥CD于點F

由tanD=tanA=2，BD=BC=4 可得DF=4/√5，CD=2DF=8/√5

設AE=x，DE=y，則BE=4-y，CE=2√5-x

∵△ABE∽△DCE ∴AB/DC=AE/DE=BE/CE

即2:8/√5=x:y=(4-y):(2√5-x) 解得x=6√5/11

（也可以一開始就把DE用AD表示，則只需要設x解方程即可）

（2）四點共圓+歪8雙相似

∠BAC=∠BDC，同側等角，四點共圓

∴∠ADE=∠BCE，∠DAE=∠CBE，AD=6/√5

∴△ADE∽△BCE ∴DE/CE=AD/BC=3/(2√5)

∵△ABE∽△DCE ∴AE/DE=AB/DC=√5/4

∴AE/CE=3/8 ∴AE=3/11AC=6√5/11

（3）勾股定理+正8相似

過點D作DF⊥BC于點F，交AC于點G

設CF=x，則BF=4-x，DF=2x

在RT△BDF中，由勾股定理，得

(2x)^2+(4-x)^2=4^2 解得x=8/5(取正)

∴CF=8/5，DF=16/5，GF=4/5，CG=4√5/5

∴DG=12/5，AG=6√5/5

∵△ABE∽△DGE ∴AE/GE=AB/GD=5/6

∴AE=5/11AG=6√5/11

（4）解三角形、三角函數

在△ABE中，tanA=2，AB=2，只要求出tan∠ABE，就能解出AE

可以在方法3的基礎上，由∠ABE=∠BDF，得出tan∠ABE=3/4

也可以由∠ABE=∠DCE，用幾何法直接求出tan∠DCE

CF、FG、DG長不必按實際長度計算，只要符合tan∠DCF=2，tan∠GCF=1/2即可

過點E作EH⊥AB于點H（為了方便，單獨把這個三角形畫出來）

在RT△EAB中，tanA=2，tanB=3/4，AB=2

設AH=3m，EH=6m，BH=8m

則AB=11m=2，m=2/11

AE=3√5m=6√5/11

也可以在△BCE中，由tan∠EBC=4/3，BC=4，tan∠BCE=1/2，先求出CE，再求AE.解法類似，不再贅述.

（5）12345模型+相似

tan∠BDC=tanA=2，tan∠DBF=1/2

由12345模型，知tan∠GBC=4/3

∴CG=4/3BC=16/3

∵△ABE∽△CGE ∴AE/CE=AB/CG=3/8

∴AE=3/11AC=6√5/11

（6）解析法（坐標法）

直線BD解析式為 y=4/3x

直線AC解析式為y=-1/2x+2

聯立方程組，得x=12/11，y=16/11

∴E(12/11,16/11) ，A(0,2)

由兩點間距離公式，可得 AE=6√5/11

三、小結

1、等腰最常見輔助線——三線（通常作高）

2、歪8相似側邊已知通常需要解方程組

3、構造相似時，優先構造正A正8相似，避免構造歪A歪8相似，因為通常前者計算量較小，比如本題中的方法3和方法5計算量就明顯小于方法1.

4、當存在互相垂直的邊，且建立平面直角坐標系后，各點的坐標容易求得的前提下，可以嘗試用解析法，但通常情況下，解析法計算量會更大.