－作者簡介－

董晉，中國科學院理論物理研究所 2022級博士研究生

導師：何頌 研究員

研究方向：超弦理論和量子場論

引言

宇宙是一個充滿奧秘的舞臺，粒子在其中不斷地相互作用，碰撞，產生新的粒子。科學家們一直致力于理解這些相互作用的規律，而散射振幅 （scattering amplitude）正是描述這些粒子碰撞過程的關鍵物理量。簡單來說，它描述了粒子碰撞后發生各種可能結果的概率。例如，當兩個質子在大型強子對撞機(Large Hadron Collider，LHC)中高速碰撞時(圖1)，我們希望知道它們會產生什么樣的新粒子，這正是散射振幅計算的目標。

圖1: CERN-LHC-CMS探測器中希格斯玻色子衰變的模擬事例重建圖[1]。

倘若使用傳統方法，計算一個振幅可能需要對幾百頁的費曼圖求和，繁瑣而復雜。但在過去幾十年里，物理學家發現了一種令人驚訝的趨勢：很多看似復雜的散射過程，背后竟隱藏著極其簡潔、優美的數學結構。這些結構往往與組合學、幾何學深度相關。這篇文章將帶你走進這個美麗的世界。

散射振幅的背后：量子場論與弦理論

量子場論是當今人類建立的最為精確的物理理論之一，它融合了現代物理的兩大支柱：量子力學與狹義相對論。在這一理論框架中，粒子被理解為量子場的激發態，而粒子之間的相互作用則源于這些場之間的耦合與傳播。通過研究場的動力學，我們得以深入理解微觀世界中粒子的行為與演化機制。

在量子場論中，諸如散射截面、衰變率等可觀測量都與散射振幅直接相關。而對散射振幅本身性質的研究，構成了所謂的S矩陣項目（S-matrix program），其思想可以追溯到海森堡等人提出的早期設想，即試圖繞過傳統拉格朗日路徑，直接從散射過程出發構建理論。

除了量子場論中的散射振幅，現代物理學家也高度關注弦理論中的振幅結構。試圖將量子力學與廣義相對論統一會遭遇著名的“紫外發散”難題，并且理論無法被系統地重整化。而弦理論是迄今為止最好的量子引力候選理論。在該理論中，宇宙的基本構件不再是“點狀粒子”，而是一維的“弦”；這些弦的不同振動模式，便對應于我們所觀測到的各種粒子類型，包括引力子在內的基本粒子也自然出現于其中。

盡管弦理論是否是終極的“萬物理論”仍在爭論之中，但作為一個更深層次的理論，它至少應滿足一項基本要求：在低能極限下應能回歸量子場論。事實上，正是通過研究弦理論中的散射振幅，人們通過其低能極限倒推出了許多場論振幅里被隱藏的結構。這種“由上而下”的啟發，正是弦理論帶來的重要貢獻之一。

讓人抓狂的“計算泥沼”與意外的簡潔

以量子場論中的散射振幅為例，從20世紀50年代起，理查德·費曼所發明的“費曼圖”成為計算這些振幅的標準工具。每一張圖代表一種可能的粒子相互作用過程，按照一套明確的規則，我們可以將它們轉化為數學表達式并進行加和，最終得到完整的物理結果。

乍看之下，這種方法既直觀又強大。然而，一旦參與的粒子數量增加，問題的復雜性也隨之爆炸式增長：要考慮的費曼圖數量迅速飆升，常常多到令人望而卻步。這種“計算泥沼”長期困擾著研究者，使得許多理論振幅即使可以原理上寫出，卻在實踐中難以求解。

令人驚奇的是，在這些看似無比復雜的計算背后，最終的物理結果往往展現出出乎意料的簡潔與優美。一個經典案例來自1986年[2]，當時Parke與Taylor在研究楊-米爾斯理論中一種特殊類型的過程——最大螺旋度破壞（Maximally Helicity Violating, 簡稱 MHV）振幅時發現：原本需要數十頁才能寫下的五粒子散射結果，竟然可以被簡潔地寫成一行公式，而且這種形式還可以自然推廣到任意粒子數 ：

這暗示了人們對量子場論的理解還不夠完善，并且散射振幅本身蘊藏著尚未被完全發掘的美妙結構。

從數學公式到美麗的幾何

在過去十多年里，物理學家們逐漸發現，某些量子場論的散射振幅并不只是某種抽象的代數對象，而是可以看作是某種幾何體的體積或正則微分形式(canonical form)。

最引人注目的例子之一來自 超對稱楊-米爾斯(super Yang-Mills, SYM)理論，這是一個高度對稱且結構優美的理論模型。2013年，Arkani-Hamed和Trnka發現[3]，這一理論的任意圈planar散射振幅可以由一個被稱為振幅多面體(Amplitudeheron)的幾何體的體積計算得出(圖2，左)。這個幾何體是正格拉斯曼流形在某個映射下的像，其邊界對應著振幅的奇點結構。這種“幾何重塑物理”的理念極大地簡化了振幅的結構，也啟發了人們從不同角度重新思考量子場論本身。

另一種例子則出現在標量 理論中[4]：它的樹級振幅可以與一種叫作ABHY(Arkani-Hamed, Bai, He and Yan)關聯多面體（Associahedron）的幾何對象對應起來(圖2，右)。Associahedron 是一種出現在組合數學中的多面體，原本與卡塔蘭數等離散結構相關聯，卻在物理中意外地扮演起計算粒子散射的主角。

圖2: SYM對應的振幅多面體（左）和標量場對應的關聯多面體（右）。可以想象，在一個完全由這些理論的微擾行為描述的世界中，萬事萬物——包括人們今天說了什么、吃了什么——都由無數個這樣的幾何體的體積決定。

這種幾何視角不僅提供了一種全新的計算工具，更重要的是，它揭示出振幅背后深藏的對稱性與結構性。然而，長期以來，這類幾何結構僅能應用于這些非常“友好”的理論中——即具有高度對稱性的超對稱理論，或者結構簡單的標量理論。在這些情形下，幾何和組合結構顯得格外整齊、美觀，也更容易被“提煉”出來。但一旦進入更復雜的相互作用，特別是在更接近現實物理的理論中，甚至僅僅是考慮 理論中超越樹級振幅的高圈被積函數，這種幾何圖像便迅速變得模糊不清。

這引出了一個關鍵問題：是否存在一種更為普適的幾何語言，能夠描述任意圈級、任意拓撲下更接近現實物理的散射振幅？

二維面組合學：解碼散射振幅的新語言

圖3: 一圈四點散射振幅對應的二維面與二維面上的曲線

直到最近，Arkani-Hamed、Frost、Salvatori、Plamondon 和 Thomas[5]——提出了一種全新的視角，被稱為“二維面組合學框架”（surfaceology）。他們發現，Tr 理論在任意階的 't Hooft 展開下，其散射振幅都可以由一個定義在相應二維面上的曲線積分來表達(圖3)。同時，這一框架還能自然地產生弦論中（在運動學平移之后的）快子振幅。

受這一工作的啟發，筆者與 Arkani-Hamed、曹趣、Figueiredo 和何頌[6] 合作，進一步將surfaceology的語言推廣到更貼近現實世界的理論中，如無超對稱的純楊-米爾斯(-標量)理論和非線性西格瑪模型。我們發現，這些理論的任意圈planar(類)弦振幅同樣可以用統一的曲線積分形式來描述，而通過對二維面選取被稱作scaffolding triangulation的三角剖分，不同理論之間的差異僅體現在一個形變參數的具體取值:

1. 當 時，我們回到了弦化的Tr 振幅,其低能極限的拉氏量為:

2. 當 ，例如 時，我們得到了弦化的非線性西格瑪模型振幅，其低能極限的拉氏量為：

其 中

1. 當 ，例如 時，上述積分積分給出了弦化的楊-米爾斯-標量理論中的特定標量振幅，相應的場論極限的拉式量為:

這種統一結構揭示了它們之間潛在的深層聯系。此外，這一框架還揭示出以往難以察覺的現象，比如零點結構——即振幅在某些特定條件下嚴格為零的情形——以及圍繞這些零點的新型因子化行為。這些結構與物理中的軟極限等核心概念密切相關，提供了對振幅性質更精細的理解。

我們還發現，非線性西格瑪模型的振幅實際上被自然地“嵌套”在 Tr 理論中，后者在某種意義上提供了一種生成前者的方法[7]。此外，我們在楊-米爾斯-標量理論中引入了所謂的scaffolding留數方法[8] (圖4)，將極化矢量巧妙地整合進這個幾何-組合學的框架中。這一方法為圈級被積函數提供了一個具備良好物理性質（如因子化行為，軟極限和規范不變性）的標準表達形式[9]。

圖4: Scaffolding留數: 從楊-米爾斯-標量到楊-米爾斯
結語

從早期繁復的費曼圖，到今天令人驚嘆的幾何與組合結構，散射振幅的研究已經走過了一段充滿驚喜的旅程。這些新方法不僅為復雜的圈級振幅計算提供了清晰路徑，也揭示出不同理論模型之間隱藏的統一結構與對稱性。

隨著更多分析工具的涌現，以及對其背后深層數學結構理解的不斷深化，人們有理由相信，散射振幅的研究將持續推動我們對基本粒子相互作用本質的認識。在這個過程中，幾何、組合與物理的交匯，將不斷催生出新的語言與思想。

參考文獻

[1]圖片來源：CMS: Simulated Higgs to two jets and two electrons - CERN Document Server, 鏈接: https://cds.cern.ch/record/628469

[2] S. J. Parke and T. R. Taylor, "An Amplitude for Gluon Scattering," FERMILAB-PUB-86-042-T, Phys. Rev. Lett. 56, 2459 (1986), doi: 10.1103/PhysRevLett.56.2459.

[3] N. Arkani-Hamed and J. Trnka, "The Amplituhedron," JHEP 10, 030 (2014), arXiv:1312.2007 [hep-th], doi: 10.1007/JHEP10(2014)030.

[4] N. Arkani-Hamed, Y. Bai, S. He, and G. Yan, "Scattering Forms and the Positive Geometry of Kinematics, Color and the Worldsheet," JHEP 05, 096 (2018), arXiv:1711.09102 [hep-th], doi: 10.1007/JHEP05(2018)096.

[5] N. Arkani-Hamed, H. Frost, G. Salvatori, P-G. Plamondon, and H. Thomas, "All Loop Scattering As A Counting Problem," arXiv:2309.15913 [hep-th].

[6] N. Arkani-Hamed, Q. Cao, J. Dong, C. Figueiredo, and S. He, "Hidden zeros for particle/string amplitudes and the unity of colored scalars, pions and gluons," JHEP 10, 231 (2024), arXiv:2312.16282 [hep-th], doi: 10.1007/JHEP10(2024)231.

[7] N. Arkani-Hamed, Q. Cao, J. Dong, C. Figueiredo, and S. He, "Nonlinear Sigma model amplitudes to all loop orders are contained in the Tr( ) theory," Phys. Rev. D 110, 065018 (2024), arXiv:2401.05483 [hep-th], doi: 10.1103/PhysRevD.110.065018.

[8] N. Arkani-Hamed, Q. Cao, J. Dong, C. Figueiredo, and S. He, "Scalar-scaffolded gluons and the combinatorial origins of Yang-Mills theory," JHEP 04, 078 (2025), arXiv:2401.00041 [hep-th], doi: 10.1007/JHEP04(2025)078.

[9] N. Arkani-Hamed, Q. Cao, J. Dong, C. Figueiredo, and S. He, "Surface Kinematics and the Canonical Yang-Mills All-Loop Integrand," Phys. Rev. Lett. 134, 171601 (2025), arXiv:2408.11891 [hep-th], doi: 10.1103/PhysRevLett.134.171601.

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