“來自這些領域的特殊之美，抓住了那些進取之人的心。但是沒有人像歐拉那樣興奮，他幾乎在每一篇關于數論的文章中，都不吝表達自己的喜悅之情。這種喜悅之情，源于他做出的每一項研究，還源于他發現的某些規律在實際應用中所帶來的可喜變化。”

來源 | 《悠揚的素數：二百年數學絕唱黎曼假設》

作者 | [英] 馬庫斯?杜?索托伊（Marcus du Sautoy）

譯者 | 柏華元

01

天才的開端

在18世紀中葉，宮廷資助之風盛行。當時的歐洲處于大革命前夕，各個國家紛紛實行開明君主專制。實行此政策的君主分別是：柏林的腓特烈大帝，圣彼得堡的彼得大帝和凱瑟琳大帝，巴黎的路易十五和路易十六。

他們的資助促進了學術界的發展，這反過來又促進了啟蒙運動時期理性主義的盛行。他們確實將其看作自己備受宮廷智囊團支持的標志。他們也深知科學和數學在提升國家軍備實力和工業實力方面擁有巨大潛力。

歐拉的父親是一位牧師，他原本希望歐拉能子承父業，在教堂工作。然而，少年歐拉過早展現出的數學天賦，引起了當權者的注意。很快，歐拉就收到了歐洲各地科學院拋來的橄欖枝。

他想要加入法國科學院，那里是當時數學研究最活躍的地方。

不過后來，他在1726年接受了圣彼得堡科學院發來的聘書。當時彼得大帝正在推行教育改革，以提升俄羅斯帝國的教育水平。該科學院為此提供了堅實后盾。

他還加入了來自巴塞爾的朋友組成的數學陣營，他們使高斯在幼年時就燃起了對數學的興趣。他們在圣彼得堡寫信給歐拉，問他能否從瑞士帶來15磅咖啡、1磅最好的綠茶、6瓶白蘭地、12打上好的煙斗和幾十包撲克牌。

歐拉帶著這些禮物包裹，歷時7周，一路上經歷乘船、徒步、坐馬車等舟車勞頓的經歷，終于在1727年5月抵達了圣彼得堡，那個他能追求數學夢想的地方。

他隨后做出的貢獻是如此巨大，涉獵的范圍是如此之廣，以至于直到歐拉1783年去世后的大約50年里，圣彼得堡科學院還在發表其收藏在檔案館里的文件。

02

在圣彼得堡科學院的歲月

在圣彼得堡科學院度過的歲月里，歐拉身上發生過各種各樣的故事。

其中一個故事可以完美地詮釋宮廷數學家所扮演的角色。

凱瑟琳大帝正在招待法國著名的哲學家和無神論者丹尼斯·狄德羅。狄德羅一直仇視數學，認為它沒有任何實際意義，所能做到的僅僅是在人與自然之間隔上一層面紗。凱瑟琳很快就厭煩了這個客人，不單單是因為狄德羅對數學的蔑視，更是因為他對朝臣宗教信仰的嘲弄令人惱火。

歐拉很快被召進宮，來讓這個令人忍無可忍的無神論者閉嘴。出于對凱瑟琳大帝提供資助的感激，歐拉欣然前往。當著狄德羅的面，歐拉義正詞嚴地說：“先生，(a+bn)/n=x，因此上帝存在。為什么呢？請回答我！”據說，狄德羅面對這個數學公式，一時間不知所措，只得倉皇而逃。

這件趣事是由英國著名數學家和邏輯學家奧古斯塔斯·德摩根在1872年講述的。這個故事可能是為了娛樂大眾而被人添枝加葉、大肆渲染。不過，它反映了當時大多數數學家喜歡貶低哲學家的心態。

但這同時也反映出，歐洲宮廷貴族認為，他們必須將數學家與文學家、藝術家和作曲家同等視之。只有了解了數學家的世界，他們的人生才稱得上完整。

凱瑟琳大帝對通過數學方法證明上帝存在并不太感興趣。她更關注的是歐拉在液壓、船舶設計和彈道上所做的研究與貢獻。這位瑞士數學家的興趣極為廣泛。他不但研究數學在軍事上的應用，還得到了數學與音樂有關的理論。但令人哭笑不得的是，他的這一理論，在數學家看來，過于依賴音樂知識；而在音樂家看來，又過于依賴數學知識。

他的一個眾所周知的成就，就是解答了“柯尼斯堡七橋問題”。

普列戈利亞河，現在被稱作普雷戈里亞河，流經柯尼斯堡，在歐拉所處的時代屬于普魯士（現在屬于俄羅斯，被稱作加里寧格勒）。其河流分支在小鎮的中心形成了兩個小島。柯尼斯堡人為了渡河方便，修建了七座橋。

能否有人穿過小鎮，而每次只經過一座橋，然后再回到原處呢？這已經成了長久困擾該鎮市民的一大難題。

歐拉在1735年證明，這是一個不可能的任務。他的證明經常出現在拓撲學教材的開篇處。在拓撲學中，一個問題的實際物理維度無關緊要。歐拉解決該問題的關鍵，在于連接小鎮不同部分的網絡，而不在于這些不同部分的具體位置和彼此間的距離。倫敦地鐵線路圖的繪制就利用了這一原則。

正是那些數字使歐拉沉浸其中，不能自拔。正如高斯所寫的那樣：

來自這些領域的特殊之美，抓住了那些進取之人的心。但是沒有人像歐拉那樣興奮，他幾乎在每一篇關于數論的文章中，都不吝表達自己的喜悅之情。這種喜悅之情，源于他做出的每一項研究，還源于他發現的某些規律在實際應用中所帶來的可喜變化。

03

對素數的計算情有獨鐘

和克里斯蒂安·哥德巴赫的通信點燃了歐拉探索數論的熱情。

哥德巴赫是一位生活在莫斯科的德國業余數學家，被圣彼得堡科學院聘為行政秘書。和先前的業余數學家梅森一樣，哥德巴赫也深深沉浸在數字的世界里，經常做一些與數字相關的試驗。

在給歐拉的信中，他提到了自己做出的以下猜想：每一個偶數都可以寫成兩個素數的和。歐拉回信給哥德巴赫，讓他來試驗自己提出的許多證明方法，以驗證費馬的各種神秘發現。費馬緘默不語，給世界留下了許多素數的謎團。

與之截然不同的是，歐拉樂于向哥德巴赫展示，他證明了費馬的命題，即素數可以寫成兩個平方數之和。歐拉甚至成功地證明了一個與費馬大定理相關的實例。

歐拉盡管對數學證明熱情高漲，但是從本質上來說，他是一名實驗型數學家。他的許多論證都帶有某種數學風氣，包含并不完全嚴格的步驟。如果這帶來了有意思的新發現，他也不以為意，泰然處之。作為數學家，他計算能力超群，善于利用數學公式推導出一些稀奇古怪的數字關系。正如法國的科學家弗朗索瓦·阿拉戈所發現的那樣：“歐拉運算起來毫不費力，如同人類呼吸或者鷹在風中翱翔一樣。

與其他計算相比，歐拉對素數的計算情有獨鐘。他制作了一張最大素數可達100000的素數表，還做出了一些其他貢獻。

在1732年，他還首次證明，費馬提出的素數公式，即，在N=5時不成立。利用新的理論思想，他成功地證明了如何將這個10位數字分解成兩個更小數字的乘積。最引人注目的是，他似乎發現了一個可以生成神秘素數的公式。1772年，歐拉將0～39的所有數字逐個代入公式x2+x+41，并計算出所有結果。于是他得到了以下數列：

41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601

利用這個公式能生成的素數如此之多，這似乎有點不同尋常。歐拉意識到，這一運算過程可能會在某一點被迫中斷。很顯然，在輸入41時，結果就可以被41整除。當然，當x=40時，得到的已經不是一個素數了。

然而，這個公式依舊令歐拉大為驚嘆。他開始研究，如果用其他數字替代41的話，會不會有同樣的效果呢？他發現，公式x2+x+q，除了 q=41，還可以讓q=2、3、5、11或者17，在輸入從0到q-2的所有數字時，也可以輸出素數。

偉大如歐拉，也無法找到一個簡單如斯的公式，以生成所有素數。正如他在1751年所寫的那樣：“有些神秘的真相，對于人類來說是不可觸及的。我們只需瞥一眼素數表就會明白，有些存在確實既無序又無規律可言。”這些組成遍布公式、公理的數學世界的基本元素，竟然以這樣一種隨意而不可測的方式存在著，著實令人不可思議。

但事實是，歐拉缺少的只是一個解開素數身上“緊箍咒”的方程。但這要等幾百年后一個偉大的人物橫空出世，來完成歐拉未能完成的任務。這個人就是伯恩哈德·黎曼。不過，正是由于高斯提出了經典的橫向思維方法，才最終啟發了黎曼從新的視角探索素數。

作者：[英] 馬庫斯?杜?索托伊

譯者：柏華元

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