繼物理學不存在之后，數學也不存在了？中學生都開始用數學寫小說了！

最近小編收到一位初中生投稿，特邀大家一同看看中學生如何證明空間中任意不共面四點共球。其中或有不盡嚴謹之處，雖已盡力完善，然囿于所學，未能臻至完美。但其探究之心彌足珍貴，所思所想亦有可取之處?，F展示給大家，懇請指點！

還記得以前看過一個很好笑的視頻。大致內容是：王羲之寫的每一個字都能三點切圓。

（圖片來源于網絡）

不愧是大名鼎鼎的書法家！有一點數學素養的人，用腳趾頭都能想到，平面內，只要不在同一條直線上的任意三點都能共圓。

如圖，在紙上任意作三點A，B，C（A，B，C不共線），只要作出AB的中垂線與AC的中垂線，其兩線的交點O即為圓心。以O為圓心，AO為半徑，即可作出三角形ABC的外接圓，此時A，B，C共圓。

由此，我便聯想到一個問題：如果點的個數增加一個，同時把平面的二維升到三維，那么四點能共三維的圓，即：

在三維空間中，任意四點能共球嗎？

于是我與另一位同學展開了奇怪的思考探究過程。

---我是二維與三維的分割線---

如圖，我在一個空間內作了四個點A，B，C，D。其中，A，B，C，D不共面。

由于ABC三點共圓，易得ABC共面。事實上，在空間內，任意不在同一直線上的三點都共面。

為了作圖方便，這里設A，B，C三點共水平面α。

由于D不在平面α上，這里設D在平面α上方某一位置。

然后作三角形ABC的外心O（三角形的外心到三角形的三個頂點距離相等，即三角形外接圓的圓心），以O為圓心，OA為半徑作圓并經過A，B，C三點。

此時OA=OB=OC=r。

如果A，B，C，D四點共球，則球心到空間內的四個點的距離必相等，已經有三條線段（OA，OB，OC）相等了，現在還差一個OD。那么為了讓OD也等于r，我們可以先求出OA=OB=OC時，O的軌跡是什么。交軌法非常好用，只要求得O的軌跡，便可在軌跡上尋找一點O’，使O’A=O'B=O'C=O'D=r。

根據直覺很容易知道，這條軌跡是過圓O且垂直于平面α的直線。

那么如何證明呢？

如圖，我過O作了一條直線OP，使得OP⊥平面α。在OP上任取一點Q（Q不與O重合），求證：QA=QB=QC。

∵OP⊥α，A，B，C，O在平面α上
∴OA⊥OP，OB⊥OP，OC⊥OP
∴∠QOA=∠QOB=∠QOC=90°
又∵在圓O中，OA=OB
OQ=OQ
∴三角形OQA全等于三角形OQB
同理，三角形OQB全等于三角形OQC
由全等三角形的傳遞性，
∴三角形OQA全等于三角形OQB全等于三角形OQC
∴QA=QB=QC

所以說在OP上任意一點Q，都能使QA=QB=QC。

現在聯結BD，作BD的中點M，再過M作平面β，使平面β垂直于BD。

此時在平面β上任意一點N，都有ND=NB。

證明：
聯結ND，NB，NM。
∵M為BD中點
∴MD=MB
∵BD⊥平面β
∴NM⊥BD
由等腰三角形三線合一性質知，ND=NB。

平面β與OP交于O'點。那為什么平面β與OP一定會有交點呢？有沒有可能它們沒有交點呢？

證明：運用反證法
設平面β∥OP
∵BD⊥β
∴OP⊥BD
又∵OP⊥OB
∴OP⊥平面DBO
∵OP⊥平面ABCO（平面α）
∴平面DBO，平面ABCO重合或平行
∵平面DBO，平面ABCO有B，O兩個公共點
∴兩面重合
∴A，B，C，D，O共面，與假設“A，B，C，D不在同一平面內”矛盾

所以平面β必與OP交于一點O’。

此時O'B=O'D

∴O'A=O'B=O'C=O'D

所以以O'為圓心，以O'A為半徑作球O'，這個時候，A，B，C，D共球O'。

到此，四點共球得證。

但是，我與同學有了更大的野心：既然四點共球，那么視野再放寬，來到四維空間，能否證明：

四維空間中任意不在同一空間內的五點，能否共四維球？

---我是難度飆升三維與四維的分界線---

編者注：從三維到四維不一定能做幾何上的簡單類比，代數方法更為嚴謹，各位自行斟酌閱讀。

剛剛，我們都在三維空間內討論四點共球，現在增加了一個維度，怎么辦呢？這個時候，需要通過一種最樸素的方法——建系，來增加理解。

剛剛討論的三維空間，其實可以畫作一個空間直角坐標系Oxyz，此時O為原點，x為表示前后的軸，y為表示左右的軸，z為表示上下的軸。

將球O放入空間直角坐標系中，可得到：

現在，我們要增加一條軸：t軸。

很多科學家說第四維度是時間，但是這里我把第四維度仍然當作空間的一個維度。

過O作一條軸t。此時，x軸，y軸，z軸，t軸兩兩垂直。這在我們生活的三維世界中是不存在的，所以比較難理解，但是在四維空間中，這是可實現的。

由于ABCD共球O，易得A，B，C，D共一空間。在空間ABCD外，有一點E。

運用類比的思想，還是交軌法，現在OA=OB=OC=OD，如何在第四個維度——t上，尋找一個軌跡，在這軌跡上的任意一點Q，都有QA=QB=QC=QD呢？

好比于在三維空間中，若一點不在一平面上，過這個點可以作這個平面的垂線，且有且只有一條。再推廣到四維空間中，也可以過一點作三維空間的垂線，且有且僅有一條。

過O作OP垂直于空間ABCD（這里比較難理解，OP垂直于空間ABCD的任意一條棱，P在第四維空間中），易得此時P就在t軸上。在OP上作任意一點Q。求證：QA=QB=QC=QD

因為OP⊥空間ABCD
若在一空間中，一點垂直于一平面，則平面上任意一條直線均垂直于垂線段?，F在升一個維度，若一個點垂直于一個空間，則空間中任意一個平面均垂直于四維中的垂線段。
∴∠QOA=∠QOB=∠QOC=∠QOD=90°
又QO=QO，OA=OB=OC=OD
∴三角形OQA全等于三角形OQB
同理，通過一大堆的證明與全等三角形的傳遞性，可得：
三角形OQA全等于OQB全等于OQC全等于OQD
∴QA=QB=QC=QD

所以在t軸上（即OP上）任意一點Q，都有QA=QB=QC=QD。

這時再聯結AE。如果在三維世界中，你會看到這樣一個景象：在空間里會出現一個懸空的點（沒錯，是懸空的，由于A在三維空間中，所以你能看到A），但是線段AE與E你是看不見的，是因為它們都延伸進入了四維空間，是你無法觸及到的維度。

作AE的中點M，過M作平面β，使β垂直于AE。求證：平面β與t軸有且僅有一公共點。

還是運用反證法，設平面β∥t軸，與t軸沒有公共點。
∵AE⊥β
∴AE⊥OP
∵OP⊥空間ABCDO
∴OP⊥AO
∴OP⊥平面AEO
∵OP⊥平面AOC
∴OP⊥空間AOCE
又∵OP⊥空間ABCDO
∴空間ABCDO與空間AOCE平行或重合
∵空間ABCDO與空間AOCE有A，O，C公共點
∴空間ABCDO與空間AOCE重合
∴A，B，C，D，O，E共空間
與假設“A，B，C，D，E不在同一三維空間中”矛盾

∴平面β與t軸必有且僅有一公共點，記此點為O'。

此時O'A=O'E

所以O'A=O'B=O'C=O'D=O'E。

∴球O'即為所求。由于球O’在四維空間中，不妨定義它為超球。

∴超球O'即為所求。

---我是四維與高維的分界線---

以此類推，6點共5維超球，7點共6維超球……

我們可以得到這樣一個結論：

任意不在同一(n-1)維的空間中的（n+1）個點可以共n維（超）球或圓（n≥2）

n=2時，可得：任意不在同一一維空間上的三點，可以共二維球。

（說人話：任意不在同一直線上的三點共圓。）

n=3時，不在同一二維平面內的四個點可以共球

n=4時，不在同一三維空間內的五個點可以共四維超球。

真的很有意思。這本質就是一個維數增加，迭代的過程，沒想到一個三點共圓，可以推出那么多的結論。

那么我得出這個結論的目的是什么呢？

宇宙有11維。若n=11，則可得到：

任意不在同一10維空間中的12點可以共11維超球。

所以說，只要給我12個點，我就能創造宇宙。

是不是很好笑？說實話，也挺幼稚的。

最后，這是我與由yy（18）同學因閑的沒事干而探討出了這個結論，本帖子對結論（即 任意不在同一(n-1)維的空間中，（n+1）個點可以共n維（超）球或圓（n≥2） ）作出了更完整，更嚴格的證明，并加以完善。

---End---

改版后備注

在四維以后，傳統的幾何方法局限于三維，不能再很方便地研究“五點共四維超球”問題，這就需要建立直角坐標系，通過定義四維坐標（x,y,z,t）的方式，利用點之間的距離公式（四維的公式為：

可以得到O'A,O'B,O'C,O'D,O'E的長度，只需要證明它們的距離相等，便能證明“五點共四維超球”及之后“以此類推”的定理。

由于本文撰寫時間倉促，再加上代數方法過于復雜，作者實力不夠，這里不作證明。有興趣的讀者可自行探索。

鳴謝名單：

1.由yy，協助我完成初步的探索

2.李xd，提供反證法解題思路，證明“平面β與OP必有一公共交點”問題

3.“二分”微信用戶，為本文的第一版提出大量修改建議

以及所有支持我的粉絲們！

來源：數學幻境

原標題：關于四點共球的一些奇怪思考（修改版）

編輯：二分

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