|作者：郭宗寬1,2,3,? 皮石1,4,5,??

(1 中國科學院理論物理研究所)

(2 中國科學院大學物理科學學院)

(3 國科大杭州高等研究院基礎物理與數(shù)學科學學院)

(4 北京大學高能物理研究中心)

(5 東京大學 卡弗里數(shù)物連攜字宙研究機構)

本文選自《物理》2025年第7期

摘要文章將介紹起源于宇宙極早期暴脹階段的引力波。暴脹是宇宙熱大爆炸開始之前的一段短暫的加速膨脹階段，在暴脹期間，起源于量子擾動的曲率擾動和張量擾動都被拉伸到宏觀尺度上。前者是大尺度結構和微波背景輻射各向異性的起源，后者則能形成原初引力波。在下一階，曲率擾動的四極矩可以作為引力波源，特別是增強的曲率擾動同時能夠形成大量原初黑洞和可觀測的次級引力波，而后者是空間引力波探測的重要科學目標。

關鍵詞隨機引力波，早期宇宙，暴脹，原初黑洞

01

引 言

人類對自然界的好奇心驅動著科學和社會的進步。宇宙是人類所能認識的最大客體，而宇宙的起源和演化則是人類探索的終極問題。自從哈勃觀測到宇宙膨脹以來，宇宙學已成為精確的現(xiàn)代科學。隨著觀測精度的逐漸提高，人們已經(jīng)漸漸認識到宇宙極早期(年齡約10-36 s 到10-32 s時)曾經(jīng)經(jīng)歷過一段短暫而劇烈的加速膨脹過程，稱之為暴脹[1—5]。這段短暫的加速膨脹過程可以解決熱大爆炸宇宙學中存在的一些理論疑難，例如宇宙為什么是空間平坦的、宇宙各個角度看上去為什么如此一致、為什么觀測不到大統(tǒng)一理論預言的磁單極子，等等。

暴脹的物理本質(zhì)仍然是一個開放的前沿科學問題，而唯象上來說可以用許多不同的模型實現(xiàn)。目前大部分科學家認為，暴脹由一個勢函數(shù)非常平坦的標量場驅動。當標量場在勢函數(shù)上滾動時，由于宇宙膨脹的動力學摩擦影響，很快到達吸引子狀態(tài)，且暴脹場的動能遠小于勢能，因此暴脹場貢獻的能量密度近似為一個宇宙學常數(shù)，能夠驅動時空近指數(shù)式地加速膨脹。隨著暴脹的持續(xù)，暴脹場逐漸滾動至其勢函數(shù)的極小值點附近，其動能項逐漸增長。當暴脹場的動能項不能忽略時，暴脹結束，且暴脹場開始在勢函數(shù)底部滾動并振蕩。這時，暴脹場的能量會通過一系列復雜的參數(shù)共振過程——稱為預加熱和重加熱——轉移到與之耦合的粒子特別是標準模型的粒子中去，并很快實現(xiàn)局域熱平衡。在這之后，宇宙進入輻射為主時期，我們通常說的熱大爆炸宇宙就是指的這個階段。

早在20世紀六七十年代，對星系、星系團等大尺度結構的統(tǒng)計已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，宇宙極早期必須存在一個近標度不變的原初曲率擾動，但其起源一直得不到很好的解釋。暴脹宇宙學提出后，人們發(fā)現(xiàn)它可以把極小尺度上的時空量子擾動拉伸到宇宙學尺度上，自然地解釋了曲率擾動的初始條件[6]。最近幾十年對微波背景輻射和星系巡天的觀測已經(jīng)進一步確認了原初曲率擾動的大小為10-5 [7]，且統(tǒng)計上是近似高斯的[8]，這反映了原初擾動的量子起源。

原初引力波是暴脹宇宙學的另一個重要預言，它由暴脹將張量形式的空間度規(guī)擾動拉伸到宇宙學尺度上而產(chǎn)生[9]。目前的原初引力波能量密度可以用暴脹時期的張量擾動譜除以物質(zhì)輻射相等時刻的紅移因子來估算，其結果小于10-16。這么小的強度在未來的引力波探測器上是很難探測到的。因此人們專注于原初引力波在微波背景輻射上產(chǎn)生的一種稱為B模偏振的特殊圖樣。目前有多個探測器對此進行進一步的探測，包括南極的BICEP2、KeckArray、日本的LiteBIRD、中國的AliCPT等。

十年前，激光干涉引力波天文臺(LIGO)首次觀測到來自雙黑洞合并的引力波信號[10]，標志著引力波天文學和引力波宇宙學的誕生。目前，LIGO聯(lián)合Virgo、KAGRA已經(jīng)觀測到數(shù)百例類似的引力波信號[11]。對這些信號的研究極大推進了人們對恒星形成與演化、黑洞物理、中子星物理、大尺度結構、哈勃常數(shù)測量等問題的認識。

除了已經(jīng)探測到的時變信號之外，還有一種重要但還沒有探測到的信號是來自不同方向的不相干引力波疊加而成的隨機背景。這種隨機引力波背景的存在不隨時間變化，但是其能譜和引力波探測器的噪聲譜不同。將多個獨立引力波探測器的噪聲數(shù)據(jù)取關聯(lián)，就可以壓低噪聲，并以更高的靈敏度探測隨機引力波背景。例如，遙遠的雙黑洞并合信號無法一一分辨出來，可以疊加出隨機背景信號。但最重要的還是來自于早期宇宙尤其是暴脹的隨機引力波信號。本文將主要討論這一類引力波的產(chǎn)生機制。

02

引力波的基本知識

上面已經(jīng)談到原初引力波起源于暴脹期間時空本身的量子擾動。準確說來，這種量子擾動會使得在空間上局域地測量距離時發(fā)生變化。如果用時空線元來寫的話，這種變化是：

其中，

t

是物理時間，

i

是不隨宇宙膨脹變化的坐標，稱為共動坐標，

a

是隨時間變化的宇宙尺度因子。空間分量的張量形式度規(guī)擾動

h

ij

代表的就是引力波。它滿足橫向無跡條件：

因此引力波帶來的距離變化總是垂直于傳播方向，且保持面積不變。愛因斯坦場方程的空間部分可以給出它的運動方程為

其中，

h

上方一點表示對

t

求導數(shù)，是宇宙的哈勃膨脹率，?是空間梯度算符。

S

kl

是物質(zhì)部分的脅強張量，而

kl

ij

可以投影出它的橫向無跡部分。在暴脹期間，源項一般是通過流速度構造出來的，是個二次型。因此張量擾動方程在線性階是無源的，其強度比較小，難以探測。在下一階，曲率擾動或者額外標量場的四極矩也可以作為引力波的源，這稱為次級引力波。在一些有趣的物理過程中，曲率擾動或者標量場可能會放大，因此產(chǎn)生的次級引力波可能會超過原初引力波，并更早在各類引力波探測器上被觀測到。

宇宙學家習慣用引力波能量密度譜來描述引力波，為此需要先定義引力波攜帶的能量。在廣義相對論中，由于等效原理和廣義協(xié)變性的限制，無法為引力場定義坐標無關的局域能量密度。然而，在存在引力波的情況下，度規(guī)的張量部分通常可以分解為低頻緩變的背景度規(guī)和高頻短波長的“引力波”度規(guī)兩部分，后者貢獻的曲率張量做時間平均之后就可以用來定義等效的平均能量密度：

這種方法稱為“短波長近似(short-wavelength approximation)”[12，13]。利用這個引力波能量密度，就能定義引力波能譜，并進而仿照其他密度參數(shù)用宇宙的臨界密度

cr 做歸一化：

很明顯，作為一種輻射，來源于暴脹以及早期宇宙的引力波能譜不能大于今天宇宙中的輻射物質(zhì)的密度占比

GW ?

r =4.2×10 -5 。但是來源于晚期宇宙、只在地球附近傳播的隨機引力波能譜則無此限制。

引力波探測器對隨機引力波背景的探測能力可以用各探測器的噪聲以及實驗的運行時間算出[14，15]。目前LIGO給出的限制是在

f

ref =25 Hz處

GW ?3.4×10 -9 [16] 。未來的空間引力波探測天線(LISA) [17—20] 、空間太極計劃(Taiji) [21] 、天琴計劃(TianQin) [22，23] 等在 10-3 Hz頻段能探測到

GW~10-12。下一代空間引力波探測計劃大爆炸探測器(BBO) [24] 、分赫茲干涉引力波天文臺(DECIGO) [25] 能夠在10 -2 Hz處探測到10 -15 。最近，多個脈沖星計時陣列實驗組NANOGrav [26，27] ，EPTA+InPTA [28—30] ，PPTA [31—33] ，CPTA [34] ，MeerKATPTA [35] 等都在納赫茲(10 -9 Hz)頻段探測到了超低頻隨機引力波背景存在的強烈證據(jù)，其幅度在

f

yr =1 yr -1 =3.17×10 -8 Hz的參考頻率上為

GW(

f

yr)=(取NANOGrav的結果)。

03

暴脹期間的量子擾動和原初引力波

自從伽莫夫提出大爆炸宇宙學并得到微波背景輻射的觀測證實以來，大爆炸理論已經(jīng)成為現(xiàn)代宇宙學的基石。然而，隨著觀測精度的逐步提高，傳統(tǒng)的熱大爆炸宇宙學也暴露出了一些問題。例如，當我們從天空中兩個相距較遠的方向看過去時，這兩個方向上的微波背景輻射的溫度在百萬分之一的水平上驚人地相等，而在早期宇宙中因果連通區(qū)域(稱為“視界”)遠小于這兩點之間的距離，因此沒有任何物理過程能保證它們的溫度相等，這稱為視界疑難。另外，最近的觀測表明宇宙在空間上是非常平坦的，但空間曲率隨著宇宙膨脹應該是越來越大，因此這要求宇宙的初條件必須微調(diào)空間曲率才行。在1980年左右，多位學者幾乎同時考慮到，如果在熱大爆炸宇宙之前宇宙經(jīng)歷過一段加速膨脹的階段，則這些問題可以得到解決[1—5]。Alan Guth將此階段稱為“暴脹宇宙(inflationary universe)”，沿用至今。人們隨即發(fā)現(xiàn)，暴脹時期產(chǎn)生的亞視界尺度的量子漲落被空間的加速膨脹拉伸到宏觀尺度上，可以作為 現(xiàn)在宇宙中觀測到的密度擾動不均勻性的初條件[6]。這個擾動早在六七十年代就已經(jīng)在星系宇宙學被發(fā)現(xiàn)，隨后的微波背景輻射各向異性更是在百分之幾的水平上確認了這個原初曲率擾動的值是10-5左右[36]。

作為最早提出宇宙早期加速膨脹概念的人之一，Alex Staorbinsky立即意識到加速膨脹能夠在可觀測的尺度上產(chǎn)生引力波，并估算了它在大尺度上的振幅[9]。簡而言之，張量擾動

h

ij

滿足無源的運動方程：

其中

H

在暴脹期間幾乎不變。明顯可以看出，在擾動尺度遠大于視界尺度1/

H

的情況下(??

aH

)，(6)式有一個不隨時間變化的常數(shù)解。根據(jù)量子化的初條件，這個值大概是

H

M

P1 。筆者在一次學術會議上聽到著名宇宙學家Rocky Kolb對此有一個“夜航船”式的推導：根據(jù)引力波的能量密度表達式(4)，暴脹期間一塊哈勃區(qū)域內(nèi)的能量不確定度為

再根據(jù)不確定性原理及Δ

t

H

-1 立即就可以得到原初張量擾動的功率譜為

公式最右邊已經(jīng)按照標準的正則量子化方法算出的精確結果補上了估算缺失的系數(shù)。由此可以看出，原初張量擾動譜由暴脹時期的哈勃參數(shù)唯一確定，因此對它的觀測可以確定暴脹發(fā)生的能標。由于共動曲率擾動的功率譜已經(jīng)觀測到，通常用張標比
來表示張量擾動的功率譜幅度。目前Planck衛(wèi)星對B模偏振的觀測給出的最好限制是

r

<0.06 [36] 。這意味著 ?10 -10 。目前我國的阿里微波背景輻射偏振望遠鏡(AliCPT)也已經(jīng)開始運行，可以通過掃描北半球的微波背景輻射B模偏振來探測原初張量擾動及其偶極不對稱性 [37，38] 。精確測量原初張量擾動的大小是早期宇宙學最重要的觀測挑戰(zhàn)。

(8)式描述的近似常數(shù)的張量擾動一旦進入視界，就要開始演化。此時??

aH

h

ij

開始振蕩，且振幅反比于

a

衰減。不過由于引力波和輻射的能量密度都反比于

a

4 衰減，因此

GW 在輻射為主的階段保持不變。到了物質(zhì)為主時期，

tot ~

dm ∝

a

-3 ，因此引力波能譜按照1/

a

衰減。從輻射為主時期到現(xiàn)在，衰減掉的紅移因子是

z

eq ~3400；暗能量主導時期它按照

a

-4 衰減，但這個時期持續(xù)很短，衰減因子是(

Λ /

m ) 4/3 ~2.7。合起來的結果是，頻率大于10 -16 Hz的引力波的幅度為

且這個值基本不隨頻率變化。更加準確的原初引力波的能譜計算要考慮到張量擾動的精確解、進視界時刻的相對論性自由度數(shù)、進視界后的轉移函數(shù)、中微子自由沖流的各向異性作為源項等細節(jié)。換句話說在遙遠的未來，如果人類能夠直接觀測到原初引力波能譜，則其振幅上的微小起伏可用于探測早期宇宙的各種復雜 演化過程和新物理。具體可參考[39—43]等文獻中的結果。我們在圖1中復制了文獻[43]中給出的原初引力波能譜的精確結果。

圖1　考慮到

H

隨著宇宙熱歷史的演化，解析結合數(shù)值計算求解(3)式并代入(5)式計算得到的標準宇宙學模型中的原初引力波能譜 [43] 。可以看到，大于

f

eq≈1.66×10?17 Hz時能譜幾乎是標度不變的，即能譜幾乎不隨頻率變化，其大小符合(9)式的估算結果

根據(jù)(9)式的估算結果，原初引力波能譜在主要可探測頻段上小于10-15，而現(xiàn)有的引力波探測技術很難達到這個靈敏度。從探測的角度考慮，需要引入一些新物理相關的增強機制，例如原初張量藍譜、超相對論性物態(tài)主導階段等。另外一種思路就是在(3)式中考慮次級的源項。我們接下來就介紹這個機制。

04

原初曲率擾動誘導的次級引力波

由于真空漲落產(chǎn)生的原初引力波的振幅很小，我們需要考慮一些通過源項增強的引力波。例如，原初流體的能流的二次型可以構建各向異性的應力張量，因此可以作為引力波的源。而這個能流是由之前已經(jīng)談到過的標量形式的原初擾動(曲率擾動)產(chǎn)生出來的，因此等價于用曲率擾動梯度的二次型——曲率擾動的四極矩——作為引力波的源項。這樣產(chǎn)生的張量擾動稱為標量誘導的次級引力波[44—52]。類似地，矢量場(例如原初磁場或暗光子)和張量擾動(例如暗引力子)也都可以誘導出次級引力波。本文中我們僅介紹原初標量擾動的例子，因為它最簡單，而且在觀測上也最重要。

我們先不管類似于譜卷積、轉移函數(shù)、角積分之類的具體計算細節(jié)，根據(jù)這種引力波的“次級”耦合特性，以及它們主要是在重入視界時刻前后產(chǎn)生出來的事實，就可以估算出其產(chǎn)生時刻的能譜約為。產(chǎn)生之后，引力波隨著背景輻射一起衰減，因此它在今天的能譜可以估算為

其中是曲率擾動的原初功率譜。觀測結果告訴我們，在大于1 Mpc的尺度上有~10-9，且這個譜是近似標度不變和高斯型的[53]。如果認為這個近標度不變譜可以外推到小尺度去，則誘導引力波能譜為

GW (2) ~10 -23 ，遠低于(9)式給出的原初引力波能譜 [52] ，仍然是難以觀測的。然而，由于觀測上原初曲率擾動在小尺度幾乎沒有限制，因此可以考慮一些在小尺度增強原初曲率擾動的模型，使其爬升到 ~10 -2 的水平并產(chǎn)生可觀測的次級引力波。用(10)式簡單的估算可以給出其次級引力波能譜為

GW (2) ~ 10 -9 . (11)

這樣的信號就很容易在空間引力波探測器、下一代脈沖星測時陣列、下一代地面引力波探測器上被觀測到了。

小尺度上增強的曲率擾動功率譜還可能產(chǎn)生另外一種奇妙的天體——原初黑洞。目前的黑洞形成理論一般都認為，大質(zhì)量恒星內(nèi)部的物質(zhì)通過聚變反應燃燒殆盡之后，殘余的輻射壓無法維持其體積，因此部分物質(zhì)會向恒星內(nèi)部坍縮，并在超過奧本海默極限之后形成極其致密、以至于光也無法逃逸的天體——黑洞。這一類黑洞在宇宙中大量存在，幾十年來已經(jīng)為X射線、引力波、射電等多波段觀測所證實。除此之外，還有一種不需要恒星坍縮也可以形成的黑洞，即原初黑洞。它是在早期宇宙中由較大的曲率擾動直接導致的引力坍縮產(chǎn)生的[54—59]。形成大量原初黑洞同樣需要在小尺度上增強曲率擾動的功率譜，因此它們和曲率擾動誘導的次級引力波是兩種互相有聯(lián)系并可以交叉檢驗的現(xiàn)象。原初黑洞的形成和曲率擾動誘導的次級引力波的產(chǎn)生都發(fā)生在增強的曲率擾動模剛進入哈勃視界的那段時間，因此前者的質(zhì)量和后者的波長都由這個時刻的視界尺度決定。它們滿足如下關系[60]：

目前的觀測限制表明，質(zhì)量約等于小行星質(zhì)量(1016 g到1022 g)的原初黑洞可以在宇宙中大量存在，甚至可以作為全部暗物質(zhì)。此類原初黑洞的施瓦西半徑只有飛米(fm)到納米的量級，無法用光學手段(微引力透鏡效應)觀測。萬幸的是，它們對應的次級引力波的峰值頻率大概是10-3—0.1 Hz左右，正好落在空間引力波探測器的頻段。具體計算表明，在高斯統(tǒng)計的情況下，原初黑洞作為全部暗物質(zhì)所需的原初功率譜大概是~10-2。通過(10)式可估算出其對應的誘導引力波能譜為

GW ~10 -9 ，處于空間引力波干涉儀LISA、太極、天琴的探測范圍之內(nèi)。最近的發(fā)展表明，在常見的平方展開非高斯和對數(shù)式非高斯的情況下，考慮曲率擾動的非高斯概率分布并不會顯著改變次級引力波信號的幅度 [61，62] 。這主要是因為原初黑洞豐度由概率分布函數(shù)的尾部決定，而次級引力波振幅主要是由概率分布函數(shù)的寬度(即方差)決定的。總而言之，探測原初黑洞暗物質(zhì)是空間引力波探測項目的重要科學目標，這一點在LISA的科學白皮書和歷年的工作報告 [63—68] 、太極科學白皮書 [69] 、天琴科學白皮書 [23] 中都有詳細說明，此處就不再贅述了。我們在圖2中畫出了原初黑洞作為全部暗物質(zhì)時，窄曲率擾動功率譜產(chǎn)生的次級引力波的典型信號，并考慮了非高斯分布。有關誘導引力波的更多討論可以參考一些相關的綜述文章，例如[70]以及[71]中的相關章節(jié)。

圖2 曲率擾動功率譜存在窄峰且當質(zhì)量約為10-12

M

⊙ 的原初黑洞組成全部暗物質(zhì)時，對應的次級引力波能譜。黑色粗線是高斯分布的情況，彩色點線、虛線等是非高斯分布的情況，取了不同的非線性參數(shù)

f

NL。USR代表超慢滾暴脹。這些曲線按照文獻[72]中給出的代碼 [73] 繪制。圖中也給出了LISA(灰色粗線) [74] 、太極(灰色虛線) [75] 、天琴(灰色點線) [76，77] 、DECIGO(灰色細線) [25] 的設計 功率冪律積分靈敏度曲線

05

結論及展望

起源于暴脹宇宙的隨機引力波背景是多個引力波探測計劃的重要科學目標。我們在本文中簡要介紹了該領域的基本知識和近期發(fā)展，主要包括引力波能譜的定義、原初引力波的量子起源和振幅估算、標量誘導的次級引力波以及它與原初黑洞的關系等內(nèi)容。

與LIGO觀測到的引力波不同，隨機引力波能譜不隨時間變化，因此在時域的表現(xiàn)就像噪聲。不過，在頻域，它的譜形通常依賴于其引力波源的性質(zhì)。因此在做信號識別之前，必須要從理論上找到起源于極早期宇宙的引力波信號的譜形特征和信號識別方法。文中首先回顧了短波長近似下的引力波攜帶的能量密度及能譜的定義，它是描述早期宇宙引力波的一個重要物理量。然后討論了暴脹宇宙學，特別是起源于暴脹期間量子擾動的空間度規(guī)的橫向無跡分量——它就是原初引力波的源。原初引力波是暴脹理論最重要的預言，是暴脹存在的決定性證據(jù)。我們根據(jù)原初張量擾動的量子性質(zhì)和引力波的波動方程估算了原初引力波今天在主要觀測頻段的幅度，發(fā)現(xiàn)它小于10-15，因此在未來是很難探測的，除非存在張量擾動藍譜或者硬物態(tài)等較為奇異的新物理。

到下一階，曲率擾動的四極矩可以作為引力波的源項，這稱為曲率擾動誘導的次級引力波。如果小尺度上曲率擾動能夠增強，則這種次級引力波可能會超過原初引力波，更早地被觀測到。有趣的是，增強的曲率擾動能夠在宇宙極早期產(chǎn)生黑洞。其中，小行星質(zhì)量的原初黑洞是一種重要的暗物質(zhì)候選者，它對應的次級引力波信號落在毫赫茲頻段，因此探測該信號是空間引力波探測器的重要科學目標。

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引力波宇宙學專題

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